Учебная работа № 4084. «Контрольная Математика. (Задание 2)
Учебная работа № 4084. «Контрольная Математика. (Задание 2)
Содержание:
«Задание№2. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью правила Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить используя матричное умножение; 3) решить методом Гаусса.
9.
Запишем систему в виде:
A = -21-347-21-85
BT = (-4,-6,1)
Главный определитель:
? = -2 • (7 • 5-(-8 • (-2)))-4 • (1 • 5-(-8 • (-3)))+1 • (1 • (-2)-7 • (-3)) = 57 = 57
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
A1 = -41-3-67-21-85
Найдем определитель полученной матрицы.
?1 = -4 • (7 • 5-(-8 • (-2)))-(-6 • (1 • 5-(-8 • (-3))))+1 • (1 • (-2)-7 • (-3)) = -171
x1 = -17157 = -3
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
A2 = -2-4-34-6-2115
Найдем определитель полученной матрицы.
?2 = -2 • (-6 • 5-1 • (-2))-4 • (-4 • 5-1 • (-3))+1 • (-4 • (-2)-(-6 • (-3))) = 114
x2 = 11457 = 2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
A3 = -21-447-61-81
Найдем определитель полученной матрицы.
?3 = -2 • (7 • 1-(-8 • (-6)))-4 • (1 • 1-(-8 • (-4)))+1 • (1 • (-6)-7 • (-4)) = 228
x3 = 22857 = 4
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -17157 = -3
x2 = 11457 = 2
x3 = 22857 = 4
Проверка.
-2•-3+1•2+-3•4 = -4
4•-3+7•2+-2•4 = -6
1•-3+-8•2+5•4 = 1
Метод обратной матрицы
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B — матрицу-столбец свободных членов:
-21-347-21-85
Вектор B:
BT=(-4,-6,1)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33
Тогда:
A=1?A11A21A31A12A22A32A13A23A33
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
AT=-24117-8-3-25
Вычисляем алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+17-8-25
?1,1=(7•5-(-2•(-8)))=19
A1,2=(-1)1+21-8-35
?1,2=-(1•5-(-3•(-8)))=19
A1,3=(-1)1+317-3-2
?1,3=(1•(-2)-(-3•7))=19
A2,1=(-1)2+141-25
?2,1=-(4•5-(-2•1))=-22
A2,2=(-1)2+2-21-35
?2,2=(-2•5-(-3•1))=-7
A2,3=(-1)2+3-24-3-2
?2,3=-(-2•(-2)-(-3•4))=-16
A3,1=(-1)3+1417-8
?3,1=(4•(-8)-7•1)=-39
A3,2=(-1)3+2-211-8
?3,2=-(-2•(-8)-1•1)=-15
A3,3=(-1)3+3-2417
?3,3=(-2•7-1•4)=-18
Обратная матрица
A-1=157191919-22-7-16-39-15-18
Проверка правильности вычисления обратной матрицы
C11=a11•b11+a12•b21+a13•b31=(-2)•(1/3)+(1)•(-22/57)+(-3)•(-39/57)=1
C12=a11•b12+a12•b22+a13•b32=(-2)•(1/3)+(1)•(-7/57)+(-3)•(-15/57)=0
C13=a11•b13+a12•b23+a13•b33=(-2)•(1/3)+(1)•(-16/57)+(-3)•(-18/57)=0
C21=a21•b11+a22•b21+a23•b31=(4)•(1/3)+(7)•(-22/57)+(-2)•(-39/57)=0
C22=a21•b12+a22•b22+a23•b32=(4)•(1/3)+(7)•(-7/57)+(-2)•(-15/57)=1
C23=a21•b13+a22•b23+a23•b33=(4)•(1/3)+(7)•(-16/57)+(-2)•(-18/57)=0
C31=a31•b11+a32•b21+a33•b31=(1)•(1/3)+(-8)•(-22/57)+(5)•(-39/57)=0
C32=a31•b12+a32•b22+a33•b32=(1)•(1/3)+(-8)•(-7/57)+(5)•(-15/57)=0
C33=a31•b13+a32•b23+a33•b33=(1)•(1/3)+(-8)•(-16/57)+(5)•(-18/57)=1
-2 1 -3
4 7 -2
1 -8 5
• 1
3 1
3 1
3
-22
57 -7
57 -16
57
-39
57 -15
57 -18
57
= 1 0 0
0 1 0
0 0 1
Вектор результатов X
X=A-1 • B
X=157191919-22-7-16-39-15-18•-4-61
X=157 (19•(-4))+(19•(-6))+(19•1)(-22•(-4))+(-7•(-6))+(-16•1)(-39•(-4))+(-15•(-6))+(-18•1)
X=157 -171114228
XT=(-3,2,4)
x1=-171 / 57=-3
x2=114 / 57=2
x3=228 / 57=4»
Выдержка из похожей работы
Вариант
1,
xi
1
4 8 10
ni
5
3 2 1
Вариант
2, xi
-5
1 3 5
ni
2
5 3 1
Вариант
3, xi
1
5 9 11
ni
2
3 5 1
Вариант
4, xi
-2
1 2 3 4 5
ni
2 1 2 2 2 1
Вариант
5,
xi
0
1 2 3 4
ni
5
2 1 1 1
Вариант
6,
xi
1
5 6 8
ni
5 15 20 10
Вариант
7,
xi
1
5 7 9
ni
6
12 1 1
Вариант
8, xi
2
3 5 6
ni
10
15 5 20
Вариант
9, xi
-5
2 3 4
ni
4
3 1 2
Вариант
10, xi
1
2 4 7
ni
1
3 6 2
Задание 2, Линейная корреляция
По
данным, приведенным ниже, вычислить
коэффициент корреляции, найти выборочное
уравнение прямой линии регрессии Y на
X, построить корреляционное поле и
нанести на него прямую регрессии Y на
X,
Вариант
1,
X5 9 10 12
Y
3 6 4 7
Вариант
2, X
1 2 5 8 16
Y
1,0 1,4 2,2 2,8
4,0
Вариант
3,
X
1 3 4 7 10
Y
-1,0 -2,1 -2,4 -3,0
-3,3
Вариант
4,
X 2 5 7 10
Y 2 4 6 8
Вариант
5,
X -1 -0,5 0 0,8 1,5
Y
2,7 3,2 4,0 6,5 11,0
Вариант
6,
X
-2 -1 0 1 2
Y
15,8 6,4 3,0 1,7 1,3
Вариант
7, X
1 3 6 8 10
Y
8,9 5,6 3,5 2,7 2,0
Вариант
8
