Учебная работа № /8537. «Контрольная Скалярное и векторное поле, задачи
Учебная работа № /8537. «Контрольная Скалярное и векторное поле, задачи
Содержание:
Индивидуальное задание №4 «Скалярное и векторное поле»
1. Найти работу силового поля вдоль дуги плоской кривой
2. Найти поток векторного поля через поверхность S в сторону внешней нормали
3. Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура L
4. Построить поверхности уровня скалярного поля
5. Для скалярного поля найти:
1) производную в точке в направлении вектора
2) величину и направление вектора наибольшей скорости изменения поля в точке
Индивидуальное задание №1 «Неопределенный интеграл»
1. Найти интегралы, применяя простейшие преобразования и подведение под знак дифференциала
2. Найти интегралы, используя метод интегрирования по частям
3. Найти интегралы, предварительно выделив полный квадрат в знаменателе дроби
4. Найти интегралы от рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов
5. Найти интегралы от иррациональных функций
6. Найти интегралы от тригонометрических функций
Выдержка из похожей работы
Определение 1, В пространстве (среде) задано поле тензора , если этот тензор определен в каждой точке пространства
,
В качестве можно выбрать скаляр, вектор или тензор более высокого ранга, Рассмотрим основные свойства поля и его характеристики,
1, Скалярное поле
Определение 1, Поле называется скалярным, если в каждой точке пространства определено значение скалярной величины ,
Поле может зависеть также и от времени
,
Здесь t играет роль параметра, Примеры скалярных полей: температура в каждой точке сплошной среды, плотность вещества или электрического заряда (как функция координат точек среды), электрический потенциал,…
Определение 2, Поверхностью уровня скалярного поля называется совокупность точек удовлетворяющих уравнению
,
где С — некоторая постоянная,
На плоскости уравнение
определяет линии уровня,
Выберем в пространстве некоторое направление l, которое задается единичным вектором (ортом) , Рассмотрим две точки М и , лежащие на этой линии
Определение 3, Производной от функции по направлению l называется предел
,
Эта величина характеризует быстроту изменения функции в направлении , Имеем
,
,
, , ,
Если направление задается вектором , то
,
Аналогично, для
и для
,
Определение 4, Градиентом скалярной функции называется вектор
,
В математике часто используется символ (читается «набла»)
,
который называют оператором дифференцирования или оператором Гамильтона, С помощью этого оператора градиент функции может быть записан в виде
,
Теорема 1, Производная скалярного поля в точке М в направлении орта равна проекции градиента поля на направление орта ,
Доказательство, Производную по направлению, определяемому ортом , можно записать в ��иде скалярного произведения
С другой стороны
где ц — угол между векторами е и ,
Максимальное значение достигается при , когда , Следовательно, градиент функции указывает направление максимального возрастания этой функции»
