Учебная работа № /8300. «Контрольная Теория функций комплексного переменного, задачи (M=5 n=1)
Учебная работа № /8300. «Контрольная Теория функций комплексного переменного, задачи (M=5 n=1)
Содержание:
1. Функции комплексного переменного
1.1. Действия с комплексными числами.
Выполнить действия:
а) (5+i)2 (1-5i); b)
1.2. Решить уравнение:
2. Аналитические функции.
2.1. Показать, что функция аналитична.
2.2. Найти производную функции в точке zo= i.
3.1. Вычислить где контур С- незамкнутая ломанная, соединяющая точки 0(0,0), A(5,1) u B(0,6).
4. Ряды Тейлора, Лорана и Фурье.
4.1. Разложить функцию f(z)= в окрестности точки z0 в ряд Тейлора и найти радиус сходимости ряда.
4.2. Разложить функцию f(z)= в окрестности точки z0 = 0 в ряд Лорана.
5. Вычеты и их приложения.
5.1. Определить тип особых точек функции f(z)= и найти вычеты в них.
5.2. Вычислить с помощью вычетов .
6. Операционное исчисление.
6.1. Нахождение изображений и восстановление оригиналов.
6.1.1. Найти изображения функций:
а) f(t)= ; б) f(t)=cos2(5t)+tּsin(t).
6.1.2. Восстановить оригиналы по изображенияым:
а) F(p)= ; б) F(p)= .
6.2. Приложения операционного исчисления.
Решить операционным методом дифференциальное уравнение:
a) , x(0)=5;
б) , x(0)=0,
Список используемых источников
1. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2005. Том2.
2. Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1978. Том2.
3. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного – М.: Наука, 2000.
4. М.Л.Краснов, А.И. Кисилев, Г.Н.Макаренко. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория Устойчивости. – М.: Наука, 1981.
Выдержка из похожей работы
Воткинск
2010
1, Решить неравенство
x2 — 3x+5
x-1
Решение,
Для решения неравенств, правая часть которых — нуль, а левая — алгебраическая дробь, т,е,, неравенств вида используем метод интервалов,
Обозначим f(x) x2-3x+5 и найдем область определения
x-1
D(f) функция f (x), Для этого определим нули знаменателя функции:
x-1=0, x=1, D(f)=(-; 1) (1;),
Найдем нули функции f (x), Для этого решим уравнение:
x2- 3x+5 x2-3x+5=0 (1)
x-1x-1=0 (2)
Решая уравнение (1), получим:
x2- 3x+5=0, D= (-3)2-4 1 5=9-20<0 - уравнение не имеет решений,
Функция f(x) непрерывна на множестве D (f) и не имеет нулей, Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции, Определим знак значения функции f (x) на каждом промежутке знакопостоянства,
Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:
f(0) 02-3 0+5 f (2)= 22-3 2+5
0-1 2-1
Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f (x) и запишем решения данного неравенства:
f (x) < 0 f (x)>0
f (x) > 0, x c (1;),
Ответ: (1;),
2, Решить неравенство
Log5(3x+1)<2
Решение,
Используя свойства логарифмов положительных чисел
loga a=1
m loga b =loga bm
преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида
loga f (x) < loga g(x)
Log5(3x+1)<2, log5(3x+1)<2log55, log5(3x+1)
Если a > 1, то
Loga f(x) < loga g(x) 0 < f(x) < g(x)
log5(3x+1) < log552, 0 < 3x + 1 < 52, -1 < 3x < 25 - 1,
11
3 < x < 8, x с 3; 8,
1
Ответ: 3; 8,
3, Найдите все решения уравнения
sinx cosx - v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|,
Решение,
Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:
sinx cosx - v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0,
|cosx=0
|sinx-v3=0
0
