Учебная работа № 6302. «Контрольная Контрольная работа по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть 2
Учебная работа № 6302. «Контрольная Контрольная работа по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть 2
Содержание:
«Задание 1. Дано множество .
1. Запишите множество перечислением всех его элементов.
2. Найдите мощность этого множества.
3. Является ли это множество конечным или бесконечным, почему?
.
4. Является ли это множество ограниченным сверху, снизу? Если да, то укажите границы множества.
5. Является ли это множество пустым? Почему?
6. Задайте множество .
7. Задайте множество .
8. Задайте множество .
Задание 2. Даны множества и . Выполните действия:
1.
2.
3.
4.
Задание 3. На складе имеются 8 одинаковых деталей. Мастеру необходимо выбрать 7 деталей. Сколькими способами он может это сделать? Ответ обоснуйте.
Задание 4. В автомастерской есть краски 7 цветов. В данный момент покраски ждут 8 машин. Сколькими вариантами можно покрасить эти машины? Ответ обоснуйте.
Задание 5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из 8 различных цифр, если:
1. цифры в трехзначном числе не повторяются;
2. цифры могут повторяться;
3. в числе обязательно есть повторяющиеся цифры.
Ответ обоснуйте.
Задание 5. Сколько различных перестановок букв можно сделать в каждом из трех слов, если одно из них – ваше имя, второе – Ваше отчество, третье – Ваша фамилия? Ответ обоснуйте.
Задание 6. Для производства двух видов изделий и используются три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия используется 12 часов работы оборудования I типа, 10 часов работы оборудования II типа и 3 часа работы оборудования III типа. На производство единицы изделия используется 3 часа работы оборудования I типа, 5 часов работы оборудования II типа и 6 часов работы оборудования III типа. На изготовление всех изделий администрация предприятия может предоставить оборудование первого типа не более чем на 684 часа, оборудование второго типа – не более чем на 690 часов, а оборудование третьего типа – не более чем на 558 часов. Прибыль от реализации готового изделия составляет 6 рублей, а изделия – 2 рубля.
1. Сформулируйте математическую модель задачи линейного программирования по данному условию.
2. Является ли она задачей целочисленного программирования? Почему?
3. Решите данную задачу графическим способом.
4. Дайте словесный ответ на вопрос: «При каком выпуске изделий и прибыль предприятия будет наибольшей?»
Задание 7. Решите предыдущую задачу симплексным методом.
Математическая модель
Задание 8. На трех оптовых базах находится однородный товар в количестве 12, 10, 3 единиц. Три магазина заказали данный товар в количестве соответственно 3, 5, 6 единиц. Расстояния между базами и магазинами приведены в матрице .
1. Запишите математическую модель транспортной задачи.
2. Выясните, выполняется ли равенство . Объясните смысл полученного вывода.
3. Является ли данная задача разрешимой? Почему?
Задание 9. Найдите экстремумы функции при условии .
1) составляем функцию Лагранжа
2) находим частные производные функции Лагранжа по и приравниваем их к 0:
»
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
