Учебная работа № 5082. «Контрольная Найдите площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией y^2=(1-x^2 )^3

Выдержка из похожей работы

Вычислить
криволинейный интеграл I-го
рода по длине дуги

где L-
отрезок прямой от т, O(0;0)
до B(4;3)

Решение:

Уравнение прямой
имеет вид:

или

Находим

тогда

Задача
2, Вычислить
площадь фигуры, ограниченной кривыми
y
= x2,
x
= y
2
и 8xy
=1,

Решение:

Решая
совместно уравнения кривых находим
координаты точек A
и B:





Значит,

или

Это
краткое решение, Более подробное решение
имеет вид:

или

1,

-дуга
параболы y
= x2;
dy
=2xdx;
тогда
2,

—
дуга кривой

тогда

3,

-дуга
кривой

тогда

Задача
3, Дано
Проверить,
что данное выражение является полным
дифференциалом функции «U»
и найти эту функцию,

Решение:

—
требование полного дифференциала
выполняется и данное

выражение
можно записать
,
где U=U(x,y)-
искомая функция,

Будем
интегрировать dU
по ломаной OAM
(см, рис,)

y

, M (x;y)

O(0;0)
A(x;0) x

Учтя,
что на пути OA
y
=0; dy=0
а на пути AM
x=const,
dx=0,
получим:

Ответ:

Задача
4, Найти центр
тяжести дуги полуокружности

лежащей в верхней полуплоскости,
Плотность считать равной единице,

Решение:
Из соображения симметрии ясно, что
центр тяжести лежит на оси (OY),
поэтому
Xc=0,
Ордината
,
где dL-длина
дуги,

—
длина полуокружности, т,е

Тогда

Ответ:

10