Учебная работа № 3567. «Контрольная Дифференциалы и интегралы. 2 блока задач
Учебная работа № 3567. «Контрольная Дифференциалы и интегралы. 2 блока задач
Содержание:
«Контрольная работа № 3. «Приложения дифференциального исчисления»
Задача № 1
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.
y=2√x-x, [0,4].
Задача № 2
Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим.
Задача № 3
Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t = t0.
{█(x=√3 cost,@y=sint,t_0=π/3.)┤
Задача № 4
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить их графики, используя полученные результаты.
а) y=2/(x^2+2x) ,
б) y=3 ln〖x/(x-3)-1.〗
Контрольная работа № 4. «Неопределенный и определенный интеграл»
Задача № 1
Найти неопределенные интегралы. В первом примере (п. а)) результат проверить дифференцированием.
а) ∫▒〖sin4x √(2-cos4x ) □(24&dx)〗, б) ∫▒〖(17-2x)/(x^2-3x+6) □(24&dx)〗 ,
в) ∫▒〖x^2 sin2x 〗 □(24&dx), г) ∫▒4x/((x-1)^2 (x^2+1)) □(24&dx),
д) ∫▒1/((√(x-1)-1) ∜(x-1)) □(24&dx), е) ∫▒cos^5x □(24&dx).
Задача № 2
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
∫_0^∞▒〖1/(x^2+2x+2) □(24&dx)〗.
Задача № 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы: а) в декартовой системе координат, б) в полярной системе координат. В обеих задачах сделать чертеж
а) y=2x^2; y=x/2, б) ρ=a cos〖φ.〗
Задача № 4
Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями:
а) y=√(1-x^2 )+arcsinx;0≤x≤7/9,
б) x=2 cost-cos〖2t,y=2 sint-sin2t, 0≤t≤π/2.〗
Задача № 5
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной заданными линиями; сделать чертеж.
y=4x-x^2; y=3.»
Выдержка из похожей работы
Задача 6,1, Найти неопределенные интегралы,
1) ∫ 3 − 2×4+ 3x2dx; 2) ∫e2−3x dx ; 3) ∫sin 5x dx ;
75×2 3 cos5x
dx arccos7 xdx ; 3x +10dx ;
4) ∫ ; 5) ∫ 6) ∫
3sin 2 xctg 4 x 1 − x2 6×2 − 4
7) ∫ 7x −x2 −4 dx ; 8) ∫xarctgxdx ; 9) ∫x2 ln(x+1)dx,
(x +1)2 (x2 −5x + 6) 1 + x2
Решение, 3
3 −2×4 + x2 2 2 2 1 22
1) ∫ dx = 3∫x−5 dx− ∫x4−5 dx+ ∫x3−5 dx=
75×2
7 7 7
−2+1 18+1 4+1 3 23 19
3 x 1 x15 3 5 2 5 `1 15
5 2 x 5
= − + + c = x5− x 5 + x15+ c =
7 2 + 7 18 7 4 737 237 19
−1 +1 +1
15
5 5
5 5 3 10 4 5 3 15 15 4
=7 x −161 x x +133 xx + c,
2) ∫e2 −3x dx= ∫e2 −3x 1 (−3dx)= −1 ∫e2−3x(2 − 3x)′dx =
−
33
= −1 ∫e2−3xd (2−3x) = −1 e2−3x+ c,
3 3
3) ∫sin 5x dx =∫(− 15 )(−5sin 5x)dx = −1∫(cos5x)′dx=
cos5x cos5x 5 cos5x
1 ∫cos−1 1 1 2
= − 2 5x d(cos 5x)= − 2 cos 2 5x + c = −cos 5x + c ,
5 5
5
− 1 dx
dx 1 1
4) ∫ = − ∫ sin 2 x = −∫ctg−4 xd(ctgx) =
ctg 4 x
3sin 2 x ctg4 x 3 3
= −1 ctg−3x+ c= 1 + c ,
3 −3
9ctg3 x
3 arccos7 x 7 dx
5) ∫ 2 dx = −∫arccos3 x − =
1 − x 1 − x2
7 (arccos x)103+c =−0,33 (arccosx)10 +c,
=−∫arccos3 x d(arccosx)=− 103
3x +10
6) ∫dx = ∫ 3xdx +10∫ dx =
6×2 −4 6×2−4
6×2 −4
14 12xdx 1d( 6x)
= ∫ +10∫ 6 =
( 6x )2 −22
6×2 −4
=1∫(6×2 −4)′dx +10 12 ln10 6 x −2+c =
4 6×2 −4 6 2 6 x + 2
=1 ln 6×2 −4+25 ln 6 x −2+c,
4 6 6 x + 2
7) ∫ 7x− x2 −4 dx,
(x +1)2 (x2 −5x +6)
7x− x2 −4 = 7x− x2 −4 = A + B + C +D ,
(x +1)2 (x2 −5x +6) (x +1)2 (x −2)(x −3) x +1(x +1)2x−2x −3
Для нахождения неопределенных коэффициентов А,В,С,D правую часть последнего равенства приводим к общему знаменателю и, приравнивая числители дробей, получаем тождество:7x − x2 −4= A(x +1)(x −2)(x −3)+ B(x −2)(x −3)++C(x +1)2 (x −3)+ D(x +1)2 (x −2),Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х :
x3:0 =A +C +D
x2:−1 =A −5A +B −C
x :7 = A−5B−5C−3D
x0:−4 = −6A +6B −3C
−2D
Решая эту систему, находим A =1,B = −1, C = −2,D =1, Подставляя
32
6 коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получаем
7x− x2−4 16 1 23 12
∫(x +1)2(x2 dx = ∫ 1−(x +1)2 −x −2+x −3dx =
−5x +6)x +
= 1ln x +1 + 1 −2ln x −2 + 1ln x −3 +c =
6 x +132
1
= x + ln6 x +1−ln3 (x − 2)2 +lnx −3+ c =
+1 6 x +1 x −3
= 1 +ln +c
