Учебная работа № /8236. «Контрольная Теория вероятностей, 3 задачи 80
Учебная работа № /8236. «Контрольная Теория вероятностей, 3 задачи 80
Содержание:
Задача 2.41. Интервал [-r, r] является диаметром полуокружности
А) случайно выбирается точка на этом интервале. Чему равна вероятность того, что длина перпендикуляра, проведенного к диаметру через эту точку до пересечения с полуокружностью, меньше, чем r/2
b) случайно выбирается точка на полуокружности. Чему равна вероятность того, что длина перпендикуляра, опущенного из этой точки до пересечения с диаметром, меньше, чем r/2
Задача 2.43. В игре «лото-49» игрок выбирает 6 чисел от 1 до 49. Лототрон случайным образом выбирает 6 чисел от 1 до 49. Игрок получает приз, если 4, 5 или 6 чисел, выбранных им, совпадают с числами, выданными лототроном. Обозначим через Х количество совпавших чисел.
А) найдите распределение величины Х;
b) вычислите среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение величины Х.
Задача 2.64. Есть две коробки, А и В, содержащие черные и белые шары:
А: 1 черный и 3 белых; В: 1 черный и 5 белых.
Из коробки В наугад выбирается шар и помещается в коробку А. Затем из коробки А наугад извлекаются два шара. Пусть Х – число черных шаров, извлеченных на втором шаге. Найдите:
А) распределение величины Х;
b) среднее значение и дисперсию величины Х.
Выдержка из похожей работы
Решение:
Обозначим через А событие: поступившая на сборку деталь бракованная, Можно теперь сделать три предположения:
В1 — деталь произведена первым автоматом;
В2 — деталь произведена вторым автоматом;
В3 — деталь произведена третьим автоматом,
Тогда соответствующие вероятности будут:
Р(В1) = 0,2;
Р(В2) = 0,3;
Р(В3) = 0,5,
Условная вероятность того, что деталь будет бракованная, если она произведена первым автоматом: РВ1(А) = Р1 = 0,2,
Аналогично: РВ2(А) = 0,3 и РВ3(А) = 0,1,
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной (общий процент брака) находим по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(В1)РВ1(А) + Р(В2)РВ2(А) + Р(В3)РВ3(А) =
= 0,2х0,2 + 0,3х0,3 + 0,5х0,1 = 0,04 + 0,09 +0,06 = 0,19,
7, Вероятность выигрыша по лотерейному билету будет р = 0,3, Имеется 4 билета, Определить вероятности всех возможных исходов для владельца этих билетов: а) ни один билет не выиграет; б) выиграет один билет; в) два билета выиграют; г) 3 билета выиграют; д) 4 билета выиграют,
Решение:
По формуле Бернулли: вероятность того, что в серии из n = 4 билетов, выиграет ровно k билетов (безразлично в какой последовательности)
Pn(k) = pk qn — k = pk qn — k, где q = 1 — p = 1 — 0,3 = 0,7,
Следовательно:
k = 0, Р(0) = 1 х 0,30 х 0,74 = 1 х 1 х 0,2401 = 0,2401;
k = 1, Р(1) = х 0,3 х 0,73 = 4 х 0,3 х 0,343 = 0,4116;
k = 2, Р(2) = х 0,32 х 0,72 = 6 х 0,09 х 0,49 = 0,2646;
k = 3, Р(3) = х 0,33 х 0,7 = 4 х 0,09 х 0,7 = 0,252;
k = 4, Р(4) = х 0,34 х 0,70 = 1 х 0,0081 х 1 = 0,0081,
8, При некотором технологическом процессе вероятность изготовления годной детали равна 0,8, Определить наиболее вероятное число годных деталей в партии из 135 штук,
Решение:
Наивероятнейшее число k0 благоприятных исходов определяем по формуле:
np — q k0 np + р,
135 х 0,8 — 0,2 k0 135 х 0,8 + 0,8;
107,8 k0 135,8;
В нашем случае np — q дробное, значит существует одно наивероятнейшее число k0, Так как np = 135 х 0,8 = 108 — целое, то искомое наивероятнейшее число:
случайный величина распределение вероятность
k0 = np = 108 штук,
9, При массовом производстве шестерён вероятность брака при штамповке равна р = 0,1, Каков�� вероятность того, что из 400 наугад выбранных шестерён 50 будут бракованными?,
Решение:
Найдём математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х — числа появления события А (наугад выбранные шестерни) в 400 независимых испытаниях:
М(Х) = np = 0,1 x 400 = 40;
D(X) = npq = 0,1 x 400 x (1 — 0,1) = 36,
Найдём максимальную разность между заданным числом появлений события (50 штук) и математическим ожиданием:
? = 50 — 40 = 10,
Воспользуемся неравенством Чебышева в форме:
Р(/Х — М(Х)/ ?) 1 — D(X)/?2″
