Учебная работа № /7700. «Контрольная Высшая математика. Работа №4, вариант 21

Выдержка из похожей работы

Будем считать, что центр гиперболы совпадает с началом координат, а фокусы лежат на оси Ох; тогда ее уравнение имеет канонический вид: , где a — вещественная полуось, а b — мнимая полуось, По условию, , т,е, , Из последнего уравнения нетрудно найти мнимую полуось:

Искомое уравнение гиперболы:

, т,е,

2, Исследовать кривую второго порядка и построить ее,

Квадратичную форму, стоящую в левой части данного уравнения, приводим к главным осям, Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим ее собственные числа и собственные векторы,

,

Так как собственные числа имеют разные знаки, то данное уравнение определяет гиперболу, Найдем собственные векторы матрицы А,

Пусть собственному числу соответствует собственный вектор

Тогда

Если то

Нормируя вектор получаем единичный собственный вектор По свойству собственных векторов симметрического линейного оператора, второй собственный вектор ортогонален вектору Выберем вектор таким образом, чтобы базис был правым, От старого базиса перейдем к новому базису ,

Матрица перехода имеет вид

Старые координаты связаны с новыми соотношениями

т,е,

В новом базисе матрица данной квадратичной формы имеет вид:

В новой системе координат уравнение данной кривой имеет следующий вид:

или

или ,

Преобразуем последнее уравнение следующим образом:

,

Ясно, что вещественная полуось гиперболы , а мнимая полуось , Произведем преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало по формулам

В системе координат гипербола имеет уравнение , Ось направлена по прямой , т,е, , а ось направлена по прямой , т,е, , Координаты точки , являющейся центром симметрии гиперболы, находим, решая систему уравнений

Получаем: , т,е, ,

Асимптотами гиперболы являются прямые

Построим гиперболу,

Вычислить предел числовой последовательности»