Учебная работа № 5101. «Контрольная Высшая математика, 8 вариант
Учебная работа № 5101. «Контрольная Высшая математика, 8 вариант
Содержание:
Задание 1
Найти значение матричного многочлена D=-4E+(3?A)?^2+(6?A)?^Т, если A=(?(2&-3&2@-2&0&4@1&1&1))
Задание 2
Вычислить определитель четвертого порядка: а) разложением по элементам ряда; б) сведением к треугольному виду:
|?(0&4&3&1@-2&0&-2&2@1&7&-1&4@6&-7&1&-5)|
Задание 3
Решить матричное уравнение:
(?(7&10@-8&6))?X?(?(-7&-8@2&9))=(?(18&9@2&-4))
Задание 4
Исследовать систему на совместность и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным способом:
{?(x_1+3x_2-x_3=11@x_1-2x_2+2x_3=-7@2x_1-x_2+3x_3=-4)?
Задание 5
Исследовать на совместность и решить систему:
{?(x_1+2x_2-3x_3+2x_4=2@?2x?_1-?3x?_2+2x_3-3x_4=-5@?4x?_1-x_2-4x_3+x_4=-1)?
Задание 6
Решить однородную систему алгебраических уравнений:
{?(3x_1+2x_2-5x_3=0@?5x?_1+4x_2-6x_3=0@?2x?_1+2x_2-x_3=0)?
Задание 7
Даны координаты точек A,B и C в системе xOy. Найти:
— Координаты векторов (AB) ?,(AC) ?, и их разложение по ортам i ?,j ?, их модули;
— угол между векторами (AB) ? и (AC) ?;
— направляющие косинусы векторов (AB) ? и (AC) ?;
— проекцию вектора (AB) ? на вектор (AC) ?.
A(-6;-2),B(6;7),C(4;-7)
Задание 8
Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти:
— длины сторон треугольника;
— уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих нормальных векторов соответственно;
— угол 
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
