Учебная работа № 5091. «Контрольная Высшая математика, вариант 2, Контрольная работа №1
Учебная работа № 5091. «Контрольная Высшая математика, вариант 2, Контрольная работа №1
Содержание:
Контрольная работа №1.
Вариант 2
Задание №1.
Найти все миноры определителя
Задание №3.
Найти обратную матрицу
Задание № 5.
Решить систему линейных уравнений:
5.1. по правилу Крамера;
5.2. матричным методом;
5.3. методом Гаусса.
Задание № 9.
Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от данной точки A(x1; y1) и данной прямой y = b. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
А(–2; –3); у= –1
Задание №12.
Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:
1) Записать векторы , и в системе орт и найти модули этих векторов.
2) Найти угол между векторами и .
3) Найти проекцию вектора на вектор .
4) Найти площадь грани ABC.
5) Найти объем пирамиды ABCD.
А(–1; 1; –5); В( 3; 5; –7); С(1; 12; –15); D( –1; 3; –4)
Задание № 13.
Даны координаты точек A, B, C и M. Требуется:
1) Составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки A, B и C.
2) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M, перпендикулярно плоскости Q.
3) Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями XOY, XOZ и YOZ.
4) Найти расстояние от точки M до плоскости Q.
А(1; –4; 1); В(4; 4; 0); С(–1; 2; –4); М( –9; 7; 8)
Задание № 14.
Даны координаты точек A, B и C. Требуется найти:
1) Канонические уравнения прямой AB.
2) Уравнение плоскости, проходящей через точку C перпендикулярно прямой AB и точку пересечения этой плоскости с прямой AB.
3) Расстояние от точки C до прямой AB.
A(–3; 1; 2); B(1; 3; –2); C(–2; 0; –2)
Задание № 15.
Найти угол между плоскостью P1, проходящей через точки A1, A2 и A3 и плоскостью P, заданной уравнением Ах+Ву+Сz+D=0
А1(–1; –2; 1); A2(–2; –2; 5); A3(–3; –1; 1); 2x+2y+z–1=0
Четыре вектора , , и . Показать, что векторы , и образуют базис. Разложить по этому базису вектор .
Задание № 7.
Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти:
1) длину стороны AB;
2) уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты;
3) угол B в радианах с точностью до двух знаков;
4) уравнение высоты CD и ее длину;
5) уравнение медианы AE и координаты точки K ? точки пересечения этой медианы с высотой CD;
6) уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно стороне AB;
7) координаты точки M, расположенной симметрично точки A относительно прямой CD.
А(0; 2); В(12; –7); С(16; 15).
Контрольная работа №2.
Задание № 1.
Найти неопределенный интеграл:
Задание № 2.
Вычислить определенный интеграл:
Исследовать интеграл на сходимость:
Задание № 12.
Вычислить двойной интеграл по заданной области D, область изобразить.
Задание № 13.
Вычислить значение интеграла
Задание № 14.
Вычислить значение интеграла
Задание № 15.
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
a)
б)
в)
г)
д)
Задание № 16.
Найти производную функции
а)
б)
Задание № 18.
Вычислить: а), б) – неопределенный интеграл, в) – определенный интеграл
Задание № 19.
Найти частные производные первого и второго порядка.
z=x5y2–ln(x+y2)–y2
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
