Учебная работа № /8103. «Контрольная Установить вид неопределенности и вычислить предел, Исследовать функцию на вогнутость и выпуклость

Выдержка из похожей работы

Если = С (постоянная), то С,
Если существует А, то для любого числа верно:
Если существуют А и В, то = АВ, а если В0, то
,
Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т, е, справедлива формула
Если функция непрерывна в точке , то искомый предел равен значению функции в этой точке, т,е, он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента :
Функция ( называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю: Функция называется бесконечно большой величиной при , если
Пример 1, 9,
Пример 2, ,
В рассмотренных примерах предел находился сразу: в виде числа или символа (бесконечность), Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен, например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение ) или бесконечно больших (),Кроме названных встречаются неопределенности вида
Для раскрытия неопределенностей используются специальные приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными:
— первый замечательный предел
-второй замечательный предел (число Эйлера),
Пример 3, ,
Решение, Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида :
,
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители, Найдем корни многочлена, стоящего в числителе, Для этого составим уравнение второй степени и найдем его решение:

Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множители
,
Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменателе,
Уравнение имеет решения

и знаменатель представляется в ви��е:
Сократим дробь на множитель и вычислим ее при
Пример 4,
Решение, Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает неопределенность вида , Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение , являющееся сопряженным к знаменателю
= ,
Пример 5, ,
Решение, Имеем неопределенность вида , Разделим числитель и знаменатель на (в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя), Используя свойства пределов, получим:
«