Учебная работа № /7849. «Контрольная Высшая математика, 4 задания

Выдержка из похожей работы

П,»

Контрольная работа
по дисциплине «Высшая математика»
Вариант 13,

Выполнила студентка
Проверил:
Красноярск, 2008г,
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задание 1
Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6, Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время (вероятность: а) работы только одного комбайна; б) простоя обоих комбайнов,
А) Данное событие (работает только один комбайн) есть сумма 2 несовместных событий:
A = B + C,
где B: работает только 1-й (2-й простаивает); C: работает только 2-й (1-й простаивает), Каждое из этих событий есть произведение 2 независимых событий:
B = D;
C = E,
где D, E — события, состоящие в том, что 1-й и 2-й комбайны работают; , — противоположные им события, т,е, 1-й и 2-й комбайны не работают, Их вероятности:
P (D) = 0,8
P (E) = 0,6
P () = 1 — P (D) = 1 — 0,8 = 0,2
P () = 1 — P (E) = 1 — 0,6 = 0,4
По теоремам сложения и умножения вероятностей
P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P () + P () P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44
Б) Данное событие (оба комбайна простаивают) есть произведение 2 независимых событий:
F =
По теореме умножения вероятностей
P (F) = P () P () = 0,2 * 0,4 = 0,08
Задание 2
Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01, Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших,
Происходит n = 800 независимых испытаний, в каждом из которых данное событие (опоздание на поезд) происходит с вероятностью p = 0,01, Наиболее вероятное число наступлений события удовлетворяет неравенствам
np — q ? k < np + p, где q = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99 800 * 0,01 - 0,99 ? k < 800 * 0,01 + 0,01 7,01 ? k < 8,01 k = 8 Так как n велико, p мала, соответствующую вероятность найдем по формуле Пуассона: Pn (k) = , где a = np = 800 * 0,01 = 8 P800 (8) = = 0,140 Задание 3 На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и для второго, X 0 1 2 Y 0 2 p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5 Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками, Составить функцию распределения и построить ее график, Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин, Величина Z может принимать значения: 0 + 0 = 0 0 + 2 = 2 1 + 0 = 1 1 + 2 = 3 2 + 0 = 2 2 + 2 = 4 Вероятности этих значений (по теоремам сложения и умножения вероятностей): P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05 P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3 P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2 P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3 P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15 Закон распределения: Z 0 1 2 3 4 p 0,05 0,3 0,2 0,3 0,15 Проверка: ? pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1, Функция распределения F (x) = P (X < x) = = Математические ожидания: M (x) = ? xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = 1,2 M (y) = ? yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1 M (z) = ? zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = 2,2 M (z) = M (x) + M (y) = 1,2 + 1 = 2,2 Задание 4 Случайная величина X задана функцией распределения F (x) = Найти: 1) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1/3; 2/3); 2) функцию плотности распределения вероятностей f (x); 3) математическое ожидание случайной величины X; 4) построить графики F (x) и f (x), 1) Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна P (a < X < b) = F (b) - F (a) P (1/3 < X < 2/3) = F (2/3) - F (1/3) = (2/3)3 - (1/3)3 = 8/27 - 1/27 = 7/27 2) Функция плотности f (x) = F`(x) = 3) Математическое ожидание M (X) = = = = = ? (14 - 04) = ? 4) Графики: Задание 5 Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием a = 26 и средним квадратическим отклонением у = 0,7, Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайной величины X - цены акции и построить ее график; б) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (25,2; 26,8); в) найти вероятность того, что абсолютная величина |X - 26| окажется меньше е = 0,5, А) Функция плотности нормального распределения имеет вид f (x) = = = Б) Вероятность того, что нормальная величина примет значение из интервала (б; в), равна P (б < X < в) = - = - = Ф (1,14) - Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747 Значения функции Лапласа Ф (x) = берем из таблиц, В) Вероятность того, что отклонение нормальной величины от математического ожидания не превышает е, равна P (|X - a| < е) = P (|X - 26| < 0,5) = = 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 = 0,5222 СТАТИСТИКА Задание 1 В задаче приведена выборка, извлеченная из соответствующей генеральной совокупности, Требуется: 1) по несгруппированным данным найти выборочную среднюю; 2) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности (генеральной средней), если признак X распределен по нормальному закону; известны г = 0,98 - надежность и у = 200 - среднее квадратическое отклонение; 3) составить интервальное распределение выборки с шагом h = 200, взяв за начало первого интервала x1 = 700; 4) построить гистограмму частот; 5) дать экономическую интерпретацию полученных результатов, Проведено выборочное обследования объема промышленного производства за 16 месяцев и получены следующие результаты (тыс, руб,): 750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550 1) Выборочная средняя = = (750 + 950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200 + 1250 + 1250 + 1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1 тыс, руб, 2) Доверительный интервал - < a < + , где Ф (t) = г / 2 = 0,98 / 2 = 0,49, По таблице функции Лапласа находим: t = 2,32, 1178,1 - < a < 1178,1 + 1178,1 - 116,3 < a < 1178,1 + 116,3 1061,8 < a < 1294,4 тыс, руб"