Учебная работа № /6986. «Контрольная Теория вероятностей и математическая статистика, 9 задач

Выдержка из похожей работы

Исполнитель:
Студент з-09 ПГС группы
Сушков Е,А,
Бузулук 2010
Задание 1

1, Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга, Вероятность того, что в течение часа 1-й станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; для второго — 0,8; для третьего — 0,85,
Какова вероятность того, что в течение часа:
а) ни один станок не потребует внимания рабочего;
б) все три станка потребуют внимания рабочего;
в) какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего;
г) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?
Решение: I II III
P 0, 9 0, 8 0, 85
а) А (i =1,2,3) — не потребует внимания станок в течение часа
В — событие, где все 3 станка не потребуют внимания рабочего в течение часа
Р (В) = Р (А1 Ч А2 Ч А3) = Р(А1) Ч Р(А2) Ч Р(А3) = 0,9 Ч 0,8 Ч 0,85 = 0,612
б) А (i =1,2,3) — не потребует i-й внимания станок
? (i =1,2,3) — потребует i-й внимания станок, независимое событие
Р (? 1) = 1 — 0,9 = 0,1
Р (? 2) = 1 — 0,8 = 0,2
Р (? 3) = 1 — 0,85 = 0,15
Р (? 1 Ч ? 2 Ч ? 3) = (0,1 Ч 0,2 Ч 0,15) = 0,003
в) ? 1 = 0,1; ? 2 = 0,2; ? 3 = 0,85
Аi — один станок потребует внимания рабочего в течение часа
Р (В) = Р (А1 Ч ? 2 Ч А3 + ? 1 Ч А2 Ч А3 + А1 Ч А2 Ч ? 3) = (0,9Ч 0,2 Ч 0,85 + 0,1 Ч 0,8 Ч 0,85 + 0,9 Ч 0,8 Ч 0,15) = 0,329
г) Найдём вероятность через противоположное событие, т,е, ни один станок не потребует внимания рабочего в течение часа
Р (А1 Ч А2 Ч А3) = Р (А1) Ч Р (А2) Ч Р (А3) = 0,9 Ч 0,8 Ч 0,85 = 0,612
Р ( С) = 1 — 0,612 = 0,388
Ответ: а) вероятность равна 0,612, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего; б) вероятность равна 0,003, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего; в) вероятность равна 0,329, что в течение часа какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего; г) вероятность равна 0,388, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего,
Задание 2

Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартные, Найти вероятность того, что среди отобранных 5 деталей окажутся: а) только 2 стандартные детали; б) все детали нестандартные; в) все детали стандартные; г) хотя бы одна деталь стандартная,
Решение:
а) число способов, где взяли 5 деталей из 10 детали, можно подсчитать по формуле:
С2 — число способов, где взяли 2 стандартные детали из 3-х нестандартных
С3 — число способов, где взяли 3 стандартные детали из 7-ми нестандартных
С5 — всего способов, где взяли 5 стандартных деталей из 10-ти
С2 =__3!___ = 3 С3 = __7!___ = 35 С5 = __10!___ = 252
2! Ч 1! 3! Ч 4! 5! Ч 5!
С3 Ч С7 = 3 Ч 35 = 0,417
С5 252
б) С7 — число способов выбора, где взяли 5 деталей из 7-ми
С5 = __7!__ = 21
5! Ч 2!
Число выбора деталей считается в сочетании С5 = 1
С7 — число способов, где взяли 5 деталей из 7-ми
С10 — всего способов, где взяли 5 деталей из 10-ти
Искомая вероятность Р ( Д):
Р (Д) = С7 Ч С3 = 21 Ч 1 = 0,083
С10 252
в) Событие, где взяли 5 стандартных деталей из 3-х стандартных деталей невозможно, Вероятность равна нулю,
г) Найдём искомую вероятность через противоположное событие:
С7 — число способов, где взяли 5 нестандартных деталей из 7-ми
С3 — число способов выбора из 3-х
С10 — всего способов, где взяли 5 деталей из 10-ти
С7 Ч С3 = 0,083 — искомая вероятность равна результату под пунктом б), С10
Ответ: а) Если среди отобранных 5 деталей окажутся только 2 стандартные детали, то вероятность равна 0,417; б) если среди отобранных 5 деталей окажутся все детали нестандартные, то вероятность равна 0,083; в) если среди отобранных 5 деталей окажутся все детали стандартные, то вероятность равна 0; г) если среди отобранных 5 деталей окажется, хотя бы одна деталь стандартная, то вероятность равна 0,083,
Задание 3

Имеется 2 ящика изделий, причем в одном ящике все изделия доброкачественны, а во втором — только половина, Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным, На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому и второму ящику, если количество изделий в ящиках одинаково?
Решение: I ящик II ящик
Доброкачественные 50 Ч 50 изделия Н1 — взяли из I ящика с доброкачественными изделиями, то Р ( Н1) = 0,5
Н2 — взяли из II ящика, то Р ( Н2) = 0,5
Событие А, где взяли доброкачественную деталь, Р ( А ? Н1) = 1
Событие А ? Н1 — доброкачественная деталь из I ящика
Событие А ? Н2 — из II ящика, Р ( А ? Н2) = 0,5
Тогда искомая вероятность Р ( А ) =Р ( Н1 ) Ч Р ( А ? Н1 ) + Р ( Н2 ) Ч Р (А ? Н2)
Р ( А) = 0,5 Ч 1 + 0,5 Ч 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75
Р ( Н1 ) Ч Р ( А ? Н1 ) ? Р ( Н2 ) Ч Р ( А ? Н2)
Ответ: Если изделие принадлежит первому и второму ящику, и количество изделий в ящиках одинаково, то вероятности отличаются на 0,75,
Задание 4

В ящике находятся изделия, сделанные на трех станках: 20 — на первом станке, 18 — на втором и 14 — на третьем, Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества, соответственно, равны 0,7; 0,85; 0,9, Взятое наудачу изделие оказалось отличного качества, Какова вероятность того, что оно изготовлено на втором станке?
Решение: I II III
20 18 14
0,7 0,85 0,9
Р ( А ? Н1 ) = 0,7 Р ( А ? Н2 ) = 0,85 Р ( А ? Н3 ) = 0,9
Р ( А) = 0,7 Ч 0,85 Ч 0,9 = 0,536
А — взятое изделие отличного качества из II станка
Искомая вероятность равна:
Р ( Н2 ? А ) = ________ Р ( Н2 ) Ч Р ( А ? Н2)
Р ( Н1 ) Ч Р ( А ? Н1 ) + Р ( Н2 ) Ч Р ( А ? Н2 ) + Р ( А ? Н3)
Где Н1, Н2, Н3 — соответственно изготовлено изделий на станках I, II и III,
Р ( А ? Н1) = 0,7 — вероятность отличной детали I станка
Р ( А ? Н2) = 0,85 — вероятность отличной детали II станка
Р ( А ? Н3) = 0,9 — вероятность отличной детали III станка
Р ( Н2 ? А) = ________ 0,346 Ч 0,85 ______________ = 0,294 = 0,365
0,385 Ч 0,7 + 0,346 Ч 0,85 + 0,269 Ч 0,9 0,806
Ответ: Вероятность равна 0,365, что взятое наудачу изделие оказалось отличного качества изготовлено на втором станке,
Задание 5

Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6,
Решение:
Событие А произойдёт не менее 2-х раз в 4 независимых испытаниях
Р ( А ) = р Р ( А) = Сm Ч рm Ч qn — m
Р = 0,6
q = 1 — р = 1 — 0,6 = 0,4
— вероятность противоположного события, Нет наступления события А в 1-ом испытании,
Найдём произведение npq и определим формулу вычисления:
вероятность случайный величина интегральный
n = 4 npq = 4 Ч 0,6 Ч 0,4 = 0,96
Можно использовать формулу Бернули:
Р ( А) = С2 Ч p2 Ч q2 + С3 Ч р3 Ч q1 + С4 Ч р4 Ч q0
Найдём через противоположное событие:
Р ( А) = 1 — С0 Ч p0 Ч q4 + С1 Ч p1 Ч q3 = 1 — 1 Ч 1 Ч (0,4)4 + 4 Ч 0,6 Ч (0,4)3 = 1 — 0,0256 + 4 Ч 0,6 Ч 0,064 = 0,9744 + 0,1536 = 1,128
С4 = __4!__ = 4
1! Ч 3!
Ответ: Если событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, то вероятность равна 1,128,
Задание 6

Вероятность того, что пара обуви, наудачу из изготовленной партии, окажется 1-го сорта, равна 0,7, Определить вероятность того, что из 2100 пар, поступающих на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500,
Решение:
Для решения задачи используем интегральную формулу Муавра — Лапласа,
Вероятность событий Рn (m1 ? m ? m2) = Ф (х2) — Ф (х1)
р = 0,7; n = 2100; m1 = 1000; m2 = 1500; q = 0,3
х1 = _m1 — np_ = 1000 — 2100 Ч 0,7 = 1000 — 1470 = — 470 = — 22,38
v npq v2100 Ч 0,7 Ч 0,3 v441 21
х2 = _m2 — np_ = 1500 — 2100 Ч 0,7 = 1500 — 1470 = _30_ = 1,43
v npq v2100 Ч 0,7 Ч 0,3 v441 21
Ф ( — х) = — Ф (х) Ф (- 22,38) = 0,5 Ф (- 22,38) = 0,4236
Ф (х2) — Ф (х1) = Ф (х2) + Ф (х1) = 0,5 + 0,4236 = 0,9236
Ответ: Если число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500, то из 2100 пар, поступающих на контроль, равна вероятности 0,9236,
Задание 7

Случайная величина Х задана интегральной функцией F(x)»