Учебная работа № 4326. «Контрольная Математика 1
Учебная работа № 4326. «Контрольная Математика 1
Содержание:
«1) Матрицы и операции над ними
Теоретический материал:
1) Сложение (вычитание) матриц.
2) Умножение матриц на число, умножение матрицы А на матрицу В.
3) Транспонирование матрицы.
4) Возведение матрицы А в целую положительную степень.
5) След матрицы.
6) Обратная матрица.
1.1. Найти матрицу , где
1 2 3 Вариант
1.2 Даны матрицы
Показать, что
1.3 Дана матрица . Найти матрицу и её след.
Варианты ответа
1 2 3 Вариант
Ответ
trB=4 trB =7 trB =-9
1.4. Дана матрица найти матрицу :
1 2 3 Вариант
1.5. Даны матрицы
Показать, что
2.Определители
Теоретический материал:
1)Свойства определителей.
2)Минор, алгебраическое дополнение.
3)Вычисление определителей.
4) Невырожденная матрица.
2.1. Вычислить определитель:
1 2 3 Вариант
0.5 0 1 Ответ
2.2. Вычислить определитель с помощью теоремы Лапласа:
1 2 3 Вариант
37 84 120 Ответ
2.3. Найти числовое значение х:
3, 1, 5
х – 1, 2, 10 =0
— 7, х + 2, 15
1 2 3 Вариант
2.4. Решить систему методом Крамера: 3.Ранг матрицы
Теоретический материал:
1) Ранг матрицы и свойства ранга матрицы.
2) Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы.
3) Эквивалентные матрицы.
4) Собственные значения и собственные векторы матрицы.
3.1. Определить ранг матрицы
3.Ранг матрицы
Теоретический материал:
1) Ранг матрицы и свойства ранга матрицы.
2) Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы.
3) Эквивалентные матрицы.
4) Собственные значения и собственные векторы матрицы.
3.1. Определить ранг матрицы
3.2. Найти максимальное число линейно независимых столбцов матрицы
3.3. Найти собственные значения матрицы
3.4 Определить рант следующей системы векторов:
=(2,1,4,1); =(4,2,6,2); =(1,3,0,1); =(7,11,6,5).
4.Системы линейных уравнений
Теоретический материал:
1) Общий вид, матричная форма и табличная форма системы m линейных уравнений с n неизвестными.
2) Теорема Кронекера-Капелли.
3) Совместная и несовместная системы, общее решение, базисные и свободные неизвестные, базисное решение.
4) Метод Гаусса, метод Жордана -Гаусса, матричный метод.
4.1. Решить систему матричным методом
4.2. Решить систему любым методом;
4.3. Решить систему: методом Гаусса.
5. Уравнение прямой на плоскости
Теоретический материал:
1) Уравнение прямой (общее, с угловым коэффициентом, в отрезках).
2) Расстояние между двумя точками .
3) Расстояние d от точки до прямой .
4) Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
5) Уравнение прямой, проходящей через две точки и .
5.1 Даны точки А(-1,-3), В(4,2). Найти длину отрезка и его направление .
5.2. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси х отрезок , на оси у отрезок .
1 2 3 Вариант
20Y-5x+2=0 4y-7x-10=0 2y-8x-5=0 Ответ
5.3. Дано общее уравнение прямой 12х-5у-65=0. Написать уравнение:
— с угловым коэффициентом ,
— в отрезках,
— нормальное уравнение.
1 2 3 Вариант
Y=(22/3)x-10
(7/10)x-(3/10)y-4=0 Y=(12/5)x-13
(12/13)x-(5/13)y-5=0 Y=(4/5)x-1
(2/3)x-(5/3)y-7=0
Ответ
5.4. Дана прямая L:3х-5у+7=0. Через т. М(1,-1) провести прямую перпендикулярную прямой L.
1 2 3 Вариант
3Y+5x-2=0 2y-7x+1=0 Y+4x-7=0 Ответ
5.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(-1,3) и N(2,5).
1 2 3 Вариант
10Y-7x+12=0 14y-2x-11=0 3y-2x-11=0 Ответ
6. Прямая и плоскость в пространстве
Теоретический материал:
1) Уравнение плоскости (общее, в отрезках, нормальное).
2) Угол между двумя плоскостями.
3) Расстояние d от точки до плоскости.
4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и .
4) Уравнение прямой в пространстве.
5) Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плос-кости.
6.1. Уравнение плоскости 2х+3у-6z+21=0 привести к нормальному уравнению и уравнению в отрезках.
6.2. Определить расстояние от т. (3,5,-8) до плоскости 6х-3у+2z-28=0
1 2 3 Вариант
11
6.3. Составить уравнение прямой, проходящей через т. (-1,0,5) параллельно прямой 6.4. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки
(-1,0,5) и (2,-3,4).
6.5.Найти угол между прямой и плоскостью 2х+3у-6z+2=0.
1 2 3 Вариант
Arcsin( )
Arccos( )
Arctg( )
Ответ
6.6.Составить уравнение плоскости, проходящей через т. М(2,3,-1) параллельно плоскости 5х-3у+2z-10=0
7. Пределы и непрерывность.
Теоретический материал:
1) Определение предела функции при и при .
2) Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
3) Первый и второй замечательные пределы.
4) Непрерывность функции. Разрывы 1-го и 2-го рода.
7.1) Найти предел
1 2 3 Вариант
7.2) Найти предел 7.3) Найти предел
7.4) Найти предел
1 2 3 Вариант
0 1 -1 Ответ
7.5) Исследовать на непрерывность функцию . В случае разрыва в точке х = 1, уста-новить характер разрыва.
1 2 3 Вариант
Непрерывна Разрыв 2-го рода Разрыв 1-го Ответ
8.Производная.
Теоретический материал:
1) Определение производной.
2) Дифференцируемость и непрерывность функции.
3) Правила дифференцирования.
4) Производные высших порядков.
8.1) Определить, является ли функция непрерывной и дифференцируемой в точке х=0.
1 2 3 Вариант
непрерывна, не дифференцируема непрерывна, диф-ференцируема разрыв 1-го рода, не дифференцируема Ответ
8.2) Найти производную функции
1 2 3
8.3) Найти производную обратной функции у= х-cosx
1 2 3 Вариант
8.4) Найти производную второго порядка функции
1 2 3 Вариант
9. Приложение производной.
Теоретический материал:
1) Правило Лопиталя.
2) Интервалы монотонности и экстремумы функции.
3) Интервалы выпуклости и точки перегиба.
4) Асимптоты. Исследование функций и построение графиков.
5 )Дифференциал функции.
9.1)Найти предел
1 2 3 Вариант
9.2) Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
1 2 3
Х min=е,
У min =е,
Возрастает на (е, ),
Убывает на (1,е) и на (0,е). X min=2e,
У min=2,
Возрастает на (2е, ) ,
Убывает на
X max=е,
У max=е,
Убывает на (е, ),
Возрастает на (0,е).
9.3)Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции
1 2 3
(0,0) –точка перегиба,
выпукла вниз на (0, ),
выпукла вверх на (- .0)
(0,0) точка перегиба,
выпукла вверх на (0, ),
выпукла вниз на
Точки перегиба нет.
Функция выпукла на всей числовой оси.
9.4)Найти асимптоты графика функции:
1 2 3
-вертикальные асимпто-ты;
У=0(ось абсцисс)- Двусторонняя горизонтальная асимптота. Х=0 –вертикальная асимптота;
У=1-двусторонняя горизонтальная асимптота. вертикальные асимптоты.
9.5)Найти дифференциал второго порядка функции
1 2 3
10. Неопределённый интеграл.
Теоретический материал:
1)Первообразная функция и неопределённый интеграл.
2)Свойства неопределённого интеграла. Табличные интегралы.
3)Метод замены переменной.
4)Интегрирование по частям.
5)Интегрирование простейших рациональных дробей, некоторых видов иррациональностей, тригонометрических функций.
10.1)Найти интеграл
1 2 3
«10.2)Найти интеграл
1 2 3
Xtgx+ +c
Xcosx- +c
tgx(1+ )+c
10.3) Найти интеграл
1 2 3
10.4)Найти интеграл
1 2 3
11. Определённый интеграл
Теоретический материал:
1) Площадь криволинейной трапеции. Геометрический смысл определённого интеграла.
2) Свойства определённого интеграла.
3) Формула Ньютона-Лейбница.
4) Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
5) Несобственные интегралы.
6) Вычисление площади плоской фигуры.
7) Вычисление объёмов тел вращения.
11.1)Вычислить определённый интеграл
1 2 3
7+2 2
17
11.2)Вычислить определённый интеграл
1 2 3
4+е е-2
11.2)Вычислить определённый интеграл
1 2 3
4+е е-2
11.3) Вычислить интеграл (если он сходится).
1 2 3
расходится
11.4) Вычислить площадь фигуры, ограниченную параболой
и осью х.
1 2 3
11.5) Вычислить объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченный линиями вокруг оси х.
1 2 3
111.5
73
24
12. Теория вероятностей.
Теоретический материал:
1) Основные понятия комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.
2) Операции над событиями: сложение вероятностей, условная вероятность, умножение веро-ятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса.
3) Независимые испытания, формула Бернулли. Приближённые формулы Лапласа и Пуассо-на.
4) Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
5) Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
12.1) В урне находятся 5 белых и 7 чёрных перчаток. Найти вероятность того, что пара, кото-рую достали наугад, окажется одноцветной.
1 2 3
12.2) Электрическая схема состоит из пяти последовательно соединённых блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока составляет 0.3, 0.5, 0.8, 0.1, 0.2. Считая выходы из строя раз-личных блоков независимыми событиями, найти надёжность всей схемы в целом.
1 2 3
0.0024 0.017 0.25
12.3) При испытаниях по схеме Бернулли вероятность двух успехов в трёх испытаниях в 12 раз больше, чем вероятность трёх успехов в трёх испытаниях. Найти вероятность успеха в одном ис-пытании.
1 2 3
0.5 0.3 0.2
12.4) С первого станка на сборку поступает 40% изготовленных деталей, со второго -30%, с третьего -30%. Вероятность изготовления бракованной детали для каждого станка равна соответ-ственно 0.01, 0.03, 0.05.Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь оказалась брако-ванной.
1 2 3
0.12 0.028 0.06
12.5)Пусть Х — число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости. Найти диспер-сию случайной величины Х.
1 2 3″
»
Выдержка из похожей работы
2) найдите
расстояние между точками
ина комплексной плоскости,
Расстояние
между точками Z1
и Z3
есть модуль
их разности
Задание
3
Решите систему
уравнений тремя способами:
1) методом Крамера;
2) методом обратной
матрицы;
3) методом Гаусса,
Решение
задания 3,
Метод
Крамера
Запишем систему
в виде:
BT
= (-6,6,-4)
Найдем главный
определитель:
∆ = 2 х (-1 х 1-(-1 х
(-2)))-3 х (-2 х 1-(-1 х 1))+1 х (-2 х (-2)-(-1 х 1)) = 2 = 2
Заменим 1-ый столбец
матрицы А на вектор результата В,
Найдем определитель
полученной матрицы,
∆1
= -6 х (-1 х 1-(-1 х (-2)))-6 х (-2 х 1-(-1 х 1))+(-4 х (-2 х
(-2)-(-1 х 1))) = 4
Заменим 2-ый столбец
матрицы А на вектор результата В,
Найдем определитель
полученной матрицы,
∆2
= 2 х (6 х 1-(-4 х (-2)))-3 х (-6 х 1-(-4 х 1))+1 х (-6 х
(-2)-6 х 1) = 8
Заменим 3-ый столбец
матрицы А на вектор результата В,
Найдем определитель
полученной матрицы,
∆3
= 2 х (-1 х (-4)-(-1 х 6))-3 х (-2 х (-4)-(-1 х (-6)))+1 х (-2
х 6-(-1 х (-6))) = -4
Ответ: найденные
переменные:
; ; ,
2,
Методом обратной матрицы;
Обозначим
через А — матрицу коэффициентов при
неизвестных; X — матрицу-столбец
неизвестных; B — матрицу-столбец свободных
членов:
Вектор
B:
BT=(-6,6,-4)С
учетом этих обозначений данная система
уравнений принимает следующую матричную
форму: А*Х = B,Найдем
главный определитель,
∆=2•(-1•1-(-1•(-2)))-3•(-2•1-(-1•1))+1•(-2•(-2)-(-1•1))=2
≠ 0Транспонированная
матрица
Вычислим
алгебраические дополнения,
∆1,1=(-1•1-(-2•(-1)))=-3
∆1,2=-(-2•1-1•(-1))=1
∆1,3=(-2•(-2)-1•(-1))=5
∆2,1=-(3•1-(-2•1))=-5
∆2,2=(2•1-1•1)=1
∆2,3=-(2•(-2)-1•3)=7
∆3,1=(3•(-1)-(-1•1))=-2
∆3,2=-(2•(-1)-(-2•1))=0
∆3,3=(2•(-1)-(-2•3))=4
Обратная
матрица
Вектор
результатов X
X=A-1
• B
XT=(2,4,-2)
x1=4
/ 2=2
x2=8
/ 2=4
x3=-4
/ 2=-2
Ответ:
найденные
переменные: x1=4
/ 2=2;
x2=8
/ 2=4;
x3=-4
/ 2=-2
3) методом Гаусса,Запишем
систему в виде расширенной матрицы:
Умножим
1-ую строку на (3), Умножим 2-ую строку на
(-2), Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим
3-ую строку на (-3), Добавим 3-ую строку к
2-ой:
Умножим
2-ую строку на (2), Добавим 2-ую строку к
1-ой:
Теперь
исходную систему можно записать как:
x3
= 6/(-3)
x2
= [18 — ( — 5×3)]/2
x1
= [-4 — ( — x2
+ x3)]/1Из
1-ой строки выражаем x3
Из
2-ой строки выражаем x2
Из
3-ой строки выражаем x1
Ответ:
найденные
переменные: x1=2;
x2=4;
x3=-2
Задание
4
Даны три вектора
иДокажите, что векторыобразуют базис, и определите, какая это
тройка векторов: правая или левая
