Учебная работа № 4127. «Реферат Кривые и поверхности второго порядка

Выдержка из похожей работы

Поверхности
второго порядка

Поверхности второго порядка – это
поверхности, которые в прямоугольной
системе координат определяются
алгебраическими уравнениями второй
степени,

Эллипсоид,

Эллипсоидом называется поверхность,
которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется
уравнением:

(1)

Уравнение (1) называется каноническим
уравнением эллипсоида,

Установим геометрический вид эллипсоида,
Для этого рассмотрим сечения данного
эллипсоида плоскостями, параллельными
плоскости Oxy, Каждая из таких плоскостей
определяется уравнением вида z=h, где h
– любое число, а линия, которая получается
в сечении, определяется двумя уравнениями

(2)

Исследуем уравнения (2) при различных
значениях h,
Если
>
c (c>0), тои уравнения (2) определяют мнимый эллипс,
т, е, точек пересечения плоскости z=h с
данным эллипсоидом не существует,
Если
,
тои линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и
(0; 0; — c) (плоскостикасаются эллипсоида),
Если

, то уравнения (2) можно представить в
виде

откуда следует, что плоскость z=h пересекает
эллипсоид по эллипсу с полуосями
и,
Таким образом, рассмотренные сечения
позволяют изобразить эллипсоид как
замкнутую овальную поверхность (рис,
156), Величины a, b, c называются полуосями
эллипсоида, В случае a=b=c эллипсоид
является сферой,

2, Однополосный
гиперболоид,

Однополосным гиперболоидом называется
поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат
определяется уравнением
,
(a>0, b>0, c>0)
(3)

Уравнение (3) называется каноническим
уравнением однополосного гиперболоида,

Установим вид поверхности (3), Для этого
рассмотрим сечение ее координатными
плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0)