Учебная работа № 4112. «Контрольная Высшая математика 3 вариант 2
Учебная работа № 4112. «Контрольная Высшая математика 3 вариант 2
Содержание:
Задание 1.
Постройте на плоскости область решения системы линейных неравенств:
Задание 2.
Решите систему уравнений Ах = b, где х = colon (х1, х2, х3),
b = colon (b1, b2, b3): а) методом Гаусса; б) по правилу Крамера.
А = , b = colon (8, 12, 13).
Задание 3.
Даны четыре вектора: = (−2, 3, 5); = (1, −3, 4); = (7, 8, −1); = = (1, 20, 1) в некотором базисе. Покажите, что векторы , , об-разуют базис и вычислите координаты вектора в этом базисе.
Задание 4.
Даны четыре точки: А1 = (3, 5, 4); А2 = (5, 8, 3); А3 = (1, 2, −2); А4 = (−1, 0, 2). Составьте уравнения:
а) плоскости А1А2А3;
б) прямой А1А2;
в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
г) прямой А4N, параллельной прямой А1А2;
д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2;
Вычислите:
е) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3.
Задание 5.
Найдите пределы функций, (не применяя правило Лопиталя):
1) , если а) с = 2; б) с = 3; в) с = ;
2) sin x ctg 5x; 3) .
Задание 6.
Найдите полный дифференциал функции двух переменных, заданной формулой:
z : (х, у) 3 у + 2 .
Задание 7.
Вычислите неопределённые интегралы. Результаты проверьте диффе-ренцированием:
а) ; б) ; в) ;
Задание 8.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделайте чертёж):
{(х, у) : у = х2–4х+1 и (х, у) : у = х+1 }.
Задание 9.
Запишите три первых члена, найти радиус, интервал и область сходимо-сти степенного ряда:
Задание 10.
Решите дифференциальное уравнение и найдите частное решение, удовлетворяющее начальному условию у0=1 при х0=3.
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
