Учебная работа № 4040. «Контрольная Высшая математика. Контрольная работа №2, задания 1-3, 5-7
Учебная работа № 4040. «Контрольная Высшая математика. Контрольная работа №2, задания 1-3, 5-7
Содержание:
«Контрольная работа № 2
1. Вычислить производные:
2. Написать уравнение касательной для функции: проходящей через .
3. Найти производную у’
5. Вычислить предел по правилу Лопиталя:
6. Исследовать функцию и построить график функции.
7. Найти наименьшее и наибольшее значение функции:
на промежутке .
»
Выдержка из похожей работы
Базисом в пространстве
являются любые три некомпланарных
вектора, Условием некомпланарности
трёх векторов является равенство их
смешанного произведения нулю,
,
=
= 1*2*9+3*0*5+0*7*5 – (5*2*5+7*0*1+0*3*9) = 18 – 50 = −32 ≠ 0
Значит векторы
,
,
некомпланарны и образуют базис,
Для того, чтобы
найти разложение ,
составим систему уравнений в координатном
виде:
Найдём Δα, Δβ,
Δγ,
Определитель Δ= −32
Δα
=
= 0*2*9+0*7*16+4*0*5 – (2*5*16+0*7*0+4*0*9) = −160
Δβ
=
= 1*4*9+0*7*5+3*16*5 – (5*4*5+1*7*16+3*0*9) = 36+240−100−112 =
64
Δγ
=
= 1*2*16+0*4*5+3*0*0 – (5*2*0+0*4*1+3*0*16) = 32
Таким образом α =
= =
= 5
β =
=
= −2
γ =
=
= −1
Значит:
= 5−
2−
Ответ:
= 5−
2−
Задание 14,
Даны координаты
вершин пирамиды A1A2A3A4,
Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между ребрами
А1А2
и A1A4;
3) угол между ребром
A1A4
и гранью A1A2A3;
4) площадь грани
A1A2A3;
5) объём пирамиды;
6) уравнения прямой
А1А2;
7) уравнение
плоскости A1A2A3;
8) уравнения высоты,
опущенной из вершины A4
на грань A1A2A3,
Сделать
чертёж,
A1
(2,4,3), A2
(7,6,3), A3
(4,9,3), A4
(3,6,7),
Решение
1) Найти длину ребра
А1А2
Находим координаты
вектора:
= (7 – 2; 6 – 4; 3 – 3) = (5;2;0)
И соответствующая
длина ребра равна:
=
=
2)Найти угол между
ребрами А1А2
и A1A4
Угол φ между рёбрами
и
вычисляем по формуле:
cos
φ
=
(3−2 ; 6−4 ; 7−3) = (1 ; 2 ; 4)
=
=
Таким образом cos
φ
=
=
=> φ
= arcos
3) Найти угол между
ребром A1A4
и гранью A1A2A3
Найдём
вектор
┴ ()
,
(4−2 ; 9−4 ; 3−3) = (2 ; 5 ; 0)
=
*
=
=
−
+
= 21
таким
образом
∟(
;^ ())
= cos (
− θ) = sin θ =
=
=
=> θ =
arcsin
4) Найти площадь
грани A1A2A3
Площадь грани
находим, используя геометрический смысл
векторного произведения:
=
=
=
= 10,5
5) Найти объём
пирамиды
Объём пирамиды
численно равен одной шестой модуля
смешанного произведения векторов:
,
,
V
=
=
=
(5*5*4+2*0*1+2*2*0 – (1*5*0+2*0*5+2*2*4)) =
(100 – 16) =14
6) Найти уравнения
прямой А1А2
Запишем уравнение
прямой в каноническом виде:
=
=
значит прямая
расположена параллельно плоскости x0y,
Запишем уравнение
прямой как линию пересечения двух
плоскостей
7) Найти уравнение
плоскости A1A2A3
Для составления
уравнения плоскости воспользуемся
формулой составления по трём точкам:
= 0
–
+ (
= 0
(2*0 – 5*0) – (y
– 4) (5*0 – 2*0) + (z
– 3) (5*5 – 2*2) = 0
(z
– 2) * 21 = 0 => z
– 3 = 0
8) Найти уравнения
высоты, опущенной из вершины A4
на грань A1A2A3,
Сделать чертёж
Искомое уравнение
высоты получим из канонических уравнений
прямой:
=
где
()
принадлежит искомой прямой
m,
n,
p
– координаты вектора
, параллельного искомой прямой
В качестве точки
возьмём точку
(3;6;7) , а в качестве вектора
возьмём нормальный вектор плоскости
A1A2A3
, то есть
(0;0;1)
Таким образом
имеем:
=
=
Схематический
чертёж:
Задание 24,
Вычислить координаты
центра окружности, описанной около
треугольника с вершинами A(-1,1),
B(2,-1),
C(4,0),
Известно, что центр
описанной около треугольника окружности
лежит на пересечении серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника,
Поэтому для
нахождения центра окружности достаточно
найти точку пересечения двух любых
серединных перпендикуляров,
Найдём уравнения
прямых АВ и АС; если А (–1;1) , В (2; –1) , С
(4;0)
АВ:
=
=> 2x
+ 3y
– 1 = 0
(2;3)
АC:
=
=> x
+ 5y
– 4 = 0
(1;5)
Найдём координаты
точек К, М, которые являются серединами
сторон АВ и АС соответственно
K
=> K
M
=> M
Теперь составим
два уравнения прямых серединных
перпендикуляров, по точке и направляющему
вектору, который совпадает с вектором
нормали для соответствующих сторон
треугольника
KO:
=
(2;3) , K
=
=> 3x – 2y – =
0 (1)
MO:
=
(1;5) , M
=
=> 5x
– y – 7=
0
(2)
таким образом O
= KO
MO
решим систему
уравнений (1) и (2):
=> O
(
;
) – центр описанной окружности около
ΔABC
Задание 34,
Построить на
плоскости область решений системы
линейных неравенств,
Для построения
области решений выполним алгоритм для
каждого неравенства:
Строим
соответствующую прямуюПроверяем
удовлетворяет ли точка (0;0) нашему
неравенству => выбираем нужную область
решения для данного неравенства
Таким образом
данной системе неравенств удовлетворяют
все точки внутри ΔАВС и на его границе,
Найдём координаты
точек А, В, С,
А:
=>
A (7;5)
B:
=>
B (12;11)
C:
=>
C
(16;9)
Задание 44