Учебная работа № 3805. «Контрольная Математика вариант 2
Учебная работа № 3805. «Контрольная Математика вариант 2
Содержание:
«Контрольная № 1
Задание 2.
Решить систему трех линейных уравнений
По формулам Крамера;
матричным методом;
методом Гаусса.
Дано {?(x+2y+z=4,@3x-5y+3z=1,@2x+7y-z=8.)?
Задание 22.
Даны вершины треугольника А(0; -1), В(3; 3), С(4; 1).
Найти
А) длину стороны АВ;
Б) уравнение стороны АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
В) угол В в радианах с точностью до двух знаков;
Г) уравнение высоты CD и ее длину;
Д) уравнение медианы АЕ и координаты точки пересечения этой медианы с высотой CD;
Е) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно стороне АВ;
Ж) построить чертеж.
Задание 42.
Даны координаты вершины пирамиды А(2; 3; 2), В(0; 6; 2), С(0; 3; 8), D (2; 6; 10).
Требуется
А) написать векторы AB, AC, AD в системе орт и найти модули этих векторов;
Б) найти угол между векторами АВ и АС;
В) найти проекцию вектора AD на вектор АВ;
Г) найти площадь грани АВС;
Д) Найти объем пирамиды ABCD;
Е) составить уравнение ребра АС;
Ж) составить уравнение грани АВС.
Контрольная работа № 2
Задание 62.
Найти указанные пределы:
А) lim?(x?-5)??(2x^2+15x+25)/(5-4x-x^2 )?={0/0},
Задание 82.
Найти производную, пользуясь непосредственным определением производной
y=x^2-2x:
Задание 102. Найти производную dy/dx данных функций.
Б) y=sin^2?2x,
В) y=x arcsin?x+?(1-x^2 ),
Г) y=x^(e^x ) — степенно-показательная функция,
Д) e^xy-x^2+y^2=0 — неявно заданная функция,
Е) {?(x=2t-sin??2t,?@y=sin^3?t )? – функция задана параметрически.
Задание 122.
Провести полное исследование функции y=(x^2+1)/x по схеме:
Найти область определения функции D(y);
Исследовать функцию на непрерывность;
Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;
Найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;
Найти точки перегиба графика функции и определить интервалы вогнутости и выпуклости графика;
Найти асимптоты графика функции;
Построить график, используя результаты исследований;
Найти дополнительно наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке x?[1;2].
Задание 142.
Найти неопределенные интегралы
А) ??20dx/((x+4)(x^2+4x+20)),
Задание 162.
Вычислить определенный интеграл
?_1^e?dx/(x?(1-ln^2?x )),
Задание 182.
Вычислить площадь, ограниченную линиями: y=1/2 x^2+x+2,y=-1/2 x^2-5x+7.
Задание 202.
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченного заданными параболой, прямой с осью Ох: y=1/3 x^2,y=-3x+12.
»
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса