Учебная работа № 3701. «Контрольная Математика. Контрольная работа № 6. Вариант № 6 (задания 1, 2, 5, 6, 7)

Выдержка из похожей работы

Составляем характеристическое
уравнение матрицы
Pn(λ)== (-1-λ)((4-λ)(6-λ)-3▪5)+2(0▪(6-λ)-3▪0)+12(0▪5-(4-λ)▪0)=
=(-1- λ)(24-4λ-6λ+ λ2-15)=(-1-
λ)( λ2-10λ+9)=0
-1- λ=0
λ2-10
λ+9=0
λ1=-1D=b2-4ac=100-4▪9=64

λ2==
=1
λ3===9
собственные значения данной матрицы
λ1=-1,λ2=1,λ3=9,
Для λ1=-1 система
имеет вид
(-1+1)x1-5×2+12×3=0
(4+1)x2+3×3=0
5×2+(6+1)x3=0
-5×2+12×3=0
5×2+3×3=0
5×2+7×3=0

Для λ2=-1 система
имеет вид
(-1-1)x1-5×2+12×3=0
(4-1)x2+3×3=0
5×2+(6-1)x3=0
-2×1-5×2+12×3=0
3×2+3×3=0
5×2+5×3=0
x2=-x3
-2×1+5×3+12×3=0
x1=x3
Полагая x3=1 получаем
собственный вектор

Дляλ3=9
(-1-9)x1-5×2+12×3=0
(4-9)x2+3×3=0
5×2+(6-9)x3=0
-10×1-5×2+12×3=0
-5×2+3×3=0
5×2-5×3=0
x2=x3
-10×1-5×3+12×3=0
x1=x3
Полагая x3=1 получая
собственный вектор

Задание 5,
Привести к каноническому виду уравнение
линии второго порядка, используя теорию
квадратичных форм, 6×2+2xy+2y2=21
Решение,
Поскольку в данном случае a11=6
,a12=a21=,a22=2 , то матрицаAэтой квадратичной формы
A=
,
=0
Решаем характеристическое уравнение

(6-λ)(2-λ)-5=0

12-6λ-2λ+λ2-5=0
λ2-8λ-7=0
Корни λ1=1, λ2=7
Для λ1=1 найдём собственный вектор,
составим систему ур-ний
(6-1)x1+x2=0
x1+(2-1)x2=0
5×1+x2=0
x1+x2=0
x1=
и для λ2=7
(6-7)x1+x2=0
x1+(2-7)x2=0
-x1+x2=0
x1-5×2=0
x1=x2
Находим собственные векторы :
;
гдеx20
;
положив x2=,
получим
;

нормируем собственные векторы
,
Составляем матрицу перехода от старого
базиса к новому
T=,
в которой координаты нормированных
собственных векторов записаны по
столбцам,
Выполняя преобразования

=T=+

x=,y=

Значения xиyподставляем в исходное ур-ние и получаем
:

это каноническое ур-ние эллипса,