Учебная работа № /8782. «Контрольная Высшая математика, контрольная работа 1,2 2
Учебная работа № /8782. «Контрольная Высшая математика, контрольная работа 1,2 2
Содержание:
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы и .
Определить, имеет ли матрица С=АT ?В обратную.
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора
в некотором базисе.
Показать, что векторы , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
5.
а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму f(x1, x2)= –x12 +3×22+4x1x2 к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования коорди-нат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму f(x1, x2, x3)=x12+x22+x32+4x1x2+6x1x3 +4x2x3.
6. Вычислить площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых
2x–y+2=0, 2x–y=0.
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A(0;0;0) параллельно векторам e1=(–1,2,2) и e2=(3,1,5).
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
2. Составить уравнения касательных к графику функции в точках пересечения ее с параболой у=2х2–5х+3. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию и построить схематично ее график.
4. Вычислить определенный интеграл:
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и расположенной в первой четверти координатной плоскости. Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:
x 3 3.5 4 4.5 5
y –1 0 1 3 4
В результате их выравнивания получена функция . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y=ax+b (найти параметры a и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Решить дифференциальное уравнение:
(ex+1)y’+y(e2x–1)=0; y(0)=1
8. Исследовать сходимость ряда:
Выдержка из похожей работы
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
-1
-2
-1
~
0
-3
-3
-6
~
0
-3
-3
-6
2
1
1
4
0
-3
-1
-6
0
0
2
0
2z = 0, z = 0; -3y -3•0 = -6, y = 2; x + 2•2 + 1•0 = 5, x = 1,
Решение системы {1;2;0}
По формулам Крамера:
— определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,
x, y, z — получаются из путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов,
1
2
1
Д=
1
-1
-2
= -1+1-8+2-2+2= -6
2
1
1
5
2
1
Дx=
-1
-1
-2
= -5-1-16+4+2+10 = -6
4
1
1
X=Дx/Д= -6/(-6) = 1
1
5
1
Дy=
1
-1
-2
= -1+4-20+2+8-5 = -12
2
4
1
Y=Дy/Д= -12/(-6) =2
Z=Дz/Д= 0/(-6) = 0
1
2
5
Дя=
1
-1
-1
= -4+5-4+10+1-8 = 0
2
1
4
Решение системы {1;2;0}
Задача 30
На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)
Найти:
— длину стороны АВ
— уравнение стороны АВ
— уравнение медианы АD
— уравнение высоты СЕ
— уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ
— внутренний угол при вершине А
— площадь треугольника АВС
— координаты точки Е
— сделать чертеж
Решение:
1, Длина стороны АВ:
АВ= 5,385
2, Уравнение прямой, проходя��ей через две заданные точки:
; ;
у = — уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k—AB= 2/5
3, Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам,
Координаты середины ВС:
х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3
D (-3,5;3)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:
; -5,5у = -16,5
у = 3- уравнение прямой АD
3, Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:
у — у3 = kСЕ (х — х3); у — 5 = -2,5(х+4)
у = -2,5х -5 — уравнение высоты СЕ,
5, Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:
у — у3 = kАВ (х — х3); у — 5 = х +,
у = х +, — уравнение прямой, параллельной АВ,
6, Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:
, где
— длины сторон АВ и АС соответственно,
,
А = arc cos 0,7643 = 40о9′
7, Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:
S = Ѕ(x2 — x1)(y3 — y1) — (x3 — x1)(y-2 — y1);
S= Ѕ (-5)·2 — (-2) ·(-6) = 22/2 = 11 кв,ед,
8, Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т,к точка Е принадлежит им обоим:
у = -2,5х -5
у =
0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5
у = 6,25 — 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)
Задача 40
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, Построить кривую,
у2 + 2x — 2y -1 = 0
Решение:
Выделяем полные квадраты:
у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0
(у — 1)2 = -2(х — 1)
(х — 1) =-1/2(у — 1)2 — это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии — прямая
у = 1, ветви параболы направлены влево,
Задача 50
Вычислить пределы,
1)
2)
3)
4)
так как -первый замечательный предел
5) , (a0)
Обозначим х-а = t, Если х>а, то t>0, х = t+a, ln x-ln a =
где — второй замечательный предел,
Задача 60
Найти производные функций:
1) y =
y =
2) у =
3) y =
y =
4) y = ctg(excosx);
y=
Задача 70
Провести полное исследование функции и построить ее график,
у = ;
Решение:
1, Область определения функции: х (-; +),
2, Поведение функции на границах области определения:
3, у= х3 — х2 = х2(x-1); у= 0, если х1 = 0, х2 = 1;
При х (-; 0), у 0, функция убывает,
При х (0;1), у 0, функция убывает»
