Учебная работа № /8470. «Контрольная Математическая статистика и тория вероятности (14 задач)
Учебная работа № /8470. «Контрольная Математическая статистика и тория вероятности (14 задач)
Содержание:
Задание 1. Для данной выборки: 32,5; 32,2; 32,3; 32,7; 32,4; 32,3; 32,3; 32,3; 32,2
1) Написать вариационный ряд, найти медиану;
2) Построить эмпирическую функцию распределения;
3) Найти выборочную среднюю , исправленную дисперсию ;
4) Исходя из нормального закона распределения случайной величины, указать 95-процентный доверительный интервал для , приняв а) ; б) — стандартное отклонение;
5) Указать 95-процентный доверительный интервал для .
Задание 2. Результаты наблюдений над случайной величиной Х оказались лежащими на отрезке (360,480) и были сгруппированы в 10 равновеликих интервалов.
Интервал 360-372 372- 384 384- 396 396- 408 408- 420 420- 432 432- 444 444- 456 456- 468 468-480
Частоты 6 9 26 47 50 29 22 5 4 2
Построить: гистограмму частот, эмпирическую функцию распределения, найти медиану. Найти выборочное среднее и исправленное среднеквадратическое отклонение . Указать 95-процентные доверительные интервалы для . С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном законе распределения (уровень значимости ).
Задание 3. В трех сериях по 3000 испытаний были получены частоты появления события А – 2710,2670,2750. а) Какие из них соответствуют гипотезе о вероятности Р(А)=0,90 (уровень значимости ). б) Взяв за основу результаты первой серии испытаний, определить 95-процентный доверительный интервал для оценки вероятности Р(А).
Задание 4. При проверке гипотезы о вероятностях событий были получены соответствующие частоты . а) С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу с уровнем значимости . Что изменится, если: б) увеличить частоты в 2 раза; в) уменьшить частоты в 2 раза?
Теория вероятностей
Задача 5. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Х 0 1 3 6 8
р 0,15 0,20 0,40 0,15
Найти: недостающее значение вероятности . Построить многоугольник, функцию распределения Х. Чему равны , если ?
Задача 6. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами . Найти .
Задача 7. Проводится серия независимых испытаний до первого появления благоприятного исхода. В каждом испытании благоприятный исход может появиться с одинаковой вероятностью. Среднее число всех испытаний равно 8. Найти вероятность, что неудачных исходов будет не более двух.
Задача 8. Имеется 8 изделий, из них 3 бракованных. Для контроля качества из них отбирают 5 изделий, Х – число бракованных изделий среди выбранных. Составить закон распределения Х, найти вероятность обнаружить брак.
Задача 9. Случайная величина Х распределена по пуассоновскому закону с показателем . Построить ее функцию распределения для значений . Найти вероятность .
Задача 10. Непрерывная случайная величина принимает значения на интервале (1,9) и имеет там функцию распределения с параметром с. Найти: параметр с, медиану, вероятность , плотность распределения.
Задача 11. Непрерывная случайная величина принимает значения на интервале (-1,3) и имеет там плотность распределения с параметром с. Найти: константу с, функцию распределения, моду, М(Х), D(X).
Задача 14. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами . Найти: а) вероятность , б) интервал, симметрично расположенный относительно среднего значения, в который с вероятностью попадает Х (ответ вычислить с точностью 0,001).
Задача 15. В ткацком станке 1200 нитей. Вероятность обрыва одной нити за один час равна р=0,008, Х – число обрывов нити за данные Т=15 минут. Найти . Ответ вычислить по предельной теореме Пуассона с точностью 0,001.
Задача 16. Х – биномиально распределенная случайная величина с параметрами . Найти . Ответ вычислить по предельным теоремам Муавра-Лапласа с точностью 0,001.
Выдержка из похожей работы
Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3,
а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9•0,8•0,7 = 0,504,
б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9•0,2•0,3 + 0,1•0,8•0,3 + 0,1•0,2•0,7 = 0,092,
в) Событие — все три стрелка промахиваются, Тогда
Р(С) = 1 — Р() = 1 — 0,1•0,2•0,3 = 1 — 0,006 = 0,994,
№ 11
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02, Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз
У нас n достаточно велику, р малу, л = np = 150 • 0,02 = 3 < 9, k = 5, Справедливо равенство Пуассона: , Таким образом,
№ 21
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х),
хі
1
2
3
4
5
рі
0,05
0,18
0,23
0,41
0,13
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ? хірі = 0,05 + 2•0,18 + 3•0,23 + 4•0,41 + 5•0,13 = 3,39,
i=1
5
D(X) = ? xiІpi - MІ = 0,05 + 2І•0,18 + 3І•0,23 + 4І•0,41 + 5І•0,13 - 3,39І = i=1
1,1579,
у(Х) = vD(X) = v1,1579 = 1,076,
№ 31
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x),
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F= - 0 = ,
Графики функций поданы далее,
№ 41
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у, Данные: б = 2; в = 13; а = 10; у = 4,
Используем формулу Р(б < x < в) =
Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф- Ф(-2),
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
Ф- Ф(-2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506,
№ 51
По данному статистическому распределению выборки
хі
4
5,8
7,6
9,4
11,2
13
14,8
16,6
mі
5
8
12
25
30
20
18
6
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение,
Для решения задачи введём условную переменную
, где С - одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h - это шаг (у нас h = 1,8),
Пусть С = 11,2, Тогда ,
Заполним таблицу:
xi
mi
xiґ
ximi
(xiґ)Іmi
4
5
- 4
- 20
80
5,8
8
- 3
- 24
72
7,6
12
- 2
- 24
48
9,4
25
- 1
- 25
25
11,2
30
0
0
0
13
20
1
20
20
14,8
18
2
36
72
16,6
6
3
18
54
? = 124
? = - 19
? = 371
Используя таблицу, найдём ;
D(xґ) = ?(xiґ)Іmi - (xiґ)І = - (- 0,1532)І = 2,9685,
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
_
x = xґh + C = - 0,1532•1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,9685•1,8І = 9,6178;
у(x) = vD(x) = v9,6178 = 3,1013,
№ 61
По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии,
у х
6
9
12
15
18
21
ny
5
4
2
6
15
5
23
28
25
18
44
5
67
35
1
8
4
13
45
4
2
6
nx
4
7
42
52
13
2
n = 120
Для упрощения расчетов введем условные переменные
u = , v = , Составим таблицу:
v u
- 3
- 2
- 1
0
1
2
nv
nuvuv
- 2
4 6
2 4
6
32
- 1
5 2
23 1
28
33
0
18 0
44 0
5 0
67
0
1
1 -1
8 0
4 1
13
3
2
4 2
2 4
6
16
nu
4
7
42
52
13
2
n = 120
? = 84
Последовательно получаем:
;
;
;
;
уuІ = - (u)І = 1,058 - (- 0,425)І = 0,878; уu = v0,878 = 0,937;
уvІ = - (v)І = 0,742 - (- 0,125)І = 0,726; уv = v0,726 = 0,8521;
По таблице, приведённой выше, получаем ?nuvuv = 84,
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u•h1 + C1 = - 0,425•3 + 15 = 13,725; y = v•h2 + C2 = - 0,125•10 + 25 = 23,75;
уx = уu•h1 = 0,937•3 = 2,811; уy = уv•h2 = 0,8521•10 = 8,521,
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х,
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению:
ух=12 = 2,457•12 - 9,968 = 19,516; е1 = 19,762 - 19,516 = 0,246;
2) при х = 18 по таблице имеем
по уравнению:
ух=18 = 2,457•18 - 9,968 = 34,258; е2 = 34,258 - 34,231 = 0,027"
