Учебная работа № /8411. «Реферат Теоремы Лапласа

Выдержка из похожей работы

В,
Томск, 2008г,
Введение
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинала), С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения,
Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями,
1, Прямое преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа функции действительной переменной , называется функция комплексной переменной , такая что:
Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа,
2, Обратное преобразование Лапласа
Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция действительного переменного, такая что:
где — некоторое вещественное число, Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича,
3, Двустороннее преобразование Лапласа
Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения x < 0 Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом: 4, Дискретное преобразование Лапласа Применяется в сфере систем компьютерного управления, Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций,Различают -преобразование и -преобразование, · -преобразование Пусть решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где -- целое число, а -- период дискретизации, Тогда применяя преобразование Лапласа получим: · -преобразование Если применить следующую замену переменных: получим Z-преобразование: 5, Свойства и теоремы · Абсолютная сходимость Если инт��грал Лапласа абсолютно сходится при у = у0, то есть существует предел то он сходится абсолютно и равномерно для и F(s) -- аналитическая функция при ( -- действительная часть комплексной переменной s), Точная нижняя грань уa множества чисел у, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x), · Условия существования прямого преобразования Лапласа Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях: 1, Случай : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл 2, Случай у > уa: преобразование Лапласа существует, если интеграл
существует для каждого конечного
x1 > 0 и для
3, Случай у > 0 или у > уa (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f'(x) (производная к f(x)) для у > уa,
Примечание: это достаточные условия существования,
· Условия существования обратного преобразования Лапласа
Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:
1, Если изображение F(s) — аналитичная функция для и имеет порядок меньше ?1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём
для
2, Пусть
,
так что
аналитична относительно каждого zk и равна нулю для
, и
тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости,
Примечание: это достаточные условия существования,
· Теорема о свёртке
Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов,
· Умножение изображений
Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем,
· Дифференцирование и интегрирование оригинала
Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа»