Учебная работа № /8340. «Контрольная Теория вероятностей, 4 задачи 17
Учебная работа № /8340. «Контрольная Теория вероятностей, 4 задачи 17
Содержание:
Задачи по теории вероятностей
Задача 2. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются три карты. Определить вероятность того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет составляет два очка, дама – три, король – четыре, туз – одиннадцать, а остальные карты – соответственно шесть, семь, восемь, девять и десять очков.
Задача 5. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8, если известно, что эта сумма есть четное число?
Задача 8. Попадание случайной точки в любое место области S равновозможно, а область S состоит и четырех частей, составляющих соответственно 50, 30, 12 и 8% всей области. При испытании имело место событие А, которое происходит только при попадании случайной точки в одну из этих частей с вероятностями соответственно 0,01; 0,05; 0,2 и 0,5. В какую из частей области S вероятнее всего произошло попадание?
Задача 9. Из таблицы случайных чисел наудачу (с возвращением) выбраны 200 двузначных случайных чисел (от 00 до 99). Определить вероятность того, что среди них число 33 встретится: а) три раза; б) четыре раза.
Выдержка из похожей работы
, ,
Событие А можно представить в виде:
Указанные слагаемые представляют собой несовместные события, поэтому по теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:
,
Так как события независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, имеем:
Таким образом, вероятность того, что студент сдаст только один экзамен, равна
б) Введем обозначения:
событие В — «студент не сдаст ни одного экзамена»;
Таким образом, вероятность того, что студент не сдаст ни одного экзамена, равна
в) Введем обозначения:
событие С — «студент сдаст хотя бы два экзамена»,
Так как в результате данного испытания могут появиться три события: , то появление хотя бы двух из них означает наступление либо двух, либо трех событий,
Следовательно, применяя теорему появления независимых событий, имеем:
Таким образом, вероятность того, что студент сдаст хотя бы два экзамена, равна
Ответ: ; ;
Задание 2
На фабрике производятся швейные изделия, Вероятность появления брака равна 0,10, Была введена упрощенная сиситема контроля изделий, состоящая из двух независимых проверок, В результате k-ой проверки (k=1, 2) изделие удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью, , а бракованное изделие принимается с вероятностью , Изделие принимается, если оно прошло обе проверки, Найти вероятности событий:
а) бракованное изделие будет принято;
б) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано;
в) случайно взятое на проверку швейное изделие будет отбраковано;
г) отбракованное изделие удовлетворяет стандарту;
д) из 5 изделий, взятых на проверку, 1 изделие будет удовлетворять стандарту,
; ; ;
Решение:
Пусть А — событие, состоящее в том, что изделие удовлетворяет стандарту, — изделие не удовлетворяет стандарту, — изделие принимается при k-ой проверке; — изделие бракуется при k-ой проверке,
а) определим вероятность того, что бракованное изделие будет принято, Так как заранее известно, что изделие с браком, то вероятность события не учитывается, Чтобы это изделие было принято, должно произойти событие , т,е, бракованное изделие принимается полсе обеих проверок, Вероятность этого события равна:
б) найдем вероятность того, что изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано, Здесь известно по условию, что оно уже удовлетворяет стандарту, Значит соответствующее событие будет равно сумме двух событий: 1 — изделие отбраковано при первой проверке ; 2 — изделие было принято при первой проверке, но отбраковано при второй: , Знаяит вероятность будет равна:
в) пусть С — событие, состоящее в том, что случайно взятое изделие на проверку будет отбраковано, Изначально нам не известно, какое изделие идет на проверку,
Возможны две гипотезы:
Н1 — на проверку идет изхделие, удовлетворяющее стандарту;
Н2 — на проверку идет бракованное изделие,
По условию,
Р(Н1)=1-р=1-0,10=0,90
Р(Н2)=р=0,10
Вероятность искомого события найдем по формуле полной вероятности, Если событие может произойти лишь при условии наступления какого-либо из несовместных событий-гипотез, образующих полную группу (т,е, какое-то одно из них обязательно наступает), то его вероятность равна сумме произведений вероятностей этих гипотез на условные вероятности искомого события при условии, что соответствующие гипотезы произошли, Таким образом, при двух гипотезах
Р(С)=Р(Н1)Р(С/Н1)+Р(Н2)Р(С/Н2)
Р(С/Н1)=р2=0,0592
Р(С/Н2)=1-р1=1-0,000006=0,999994
Следовательно,
Р(С)=0,90*0,0592+0,1*0,999994=0,05328+0,0999994=0,1532794
г) Отбракованное изделие удовлетворяет стандарту, Следовательно произошла гипотеза Н1, при условии что наступило событие С, Вероятность этого события найдем по формуле Байеса, которая служит для переоценки вероятностей гипотез после того, как стало известно, что основное событие произошло, Таким образом,
д) Найдем вероятность р3 того, что одно случайно взятое на проверку изделие удовлетворяет стандарту, Это событие противоположно событию С, Значит, р3=1-Р(С)=1-0,1532794=0,8467206
Для нахождения вероятности тог, что из 5 изделий, взятых на проверку, только одно будет удовлетворять стандарту, воспользуемся формулой Бернулли, «
