Математика

Учебная работа № /8332. «Контрольная Теория вероятностей, 15 задач

Количество страниц учебной работы: 19
Содержание:
Задача В.3.13. Компания обслуживает кондиционеры. Известно, что время обслуживания имеет нормальное распределение со средним 60 мин и стандартным отклонением 10 мин.
a) Чему равна вероятность того, что какое-то обслуживание потребует более 65 мин?
b) Чему равна вероятность того, что время обслуживания заключено между 50 и 70 мин?
c) С вероятностью 0,25 время обслуживания больше t мин. Найдите t.
d) Найдите интервал наименьшей длины, в который укладывается 50% всех значений времени обслуживания.
e) Взята выборка объема 4 из значений времени обслуживания. Чему равна вероятность того, что ровно два обслуживания длились больше 65 мин?
Задача В.3.20. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке . Найдите .
Задача В.3.24. Диаметры шариков, используемых в подшипниках нормально распределены со средним мм и стандартным отклонением σ. Шарик считается бездефектным, если его диаметр укладывается в размеры мм. Процент бракованных шариков равен 7%. Найдите σ.

Задача В.3.52. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке . Найдите плотности распределения случайных величин:
a)
b)
Задача В.3.56. Случайные величины X и Y имеют совместную плотность распределения , которая равна в треугольнике ABC. ; ; и равна 0 в остальных точках.
a) Являются ли величины X и Y независимыми?
b) Найдите .
c) Найдите .
Задача В.4.17. Используя распределение:
X Y
0 1 2
1 0,10 0,20 0,10
2 0,15 0,20 0,25

найдите условное распределение . Совпадает ли оно с безусловным распределением ? Как это связано с вопросом о независимости величин X и Y? Совпадает ли этот вывод с тем, что получен ранее?
Задача В.4.18. В таблице приведено совместное распределение уровня дохода X и уровня образования Y.
Y = 1 Y = 2 Y = 3 Y = 4
X = 1 0,12 0,03 0,06 0,09
X = 2 0,20 0,05 0,10 0,15
X = 3 0,08 0,02 0,04 0,06

Вычислите для всех уровней Y. Вычислите ковариацию и коэффициент корреляции между X и Y.
Задача В.4.27. Пусть X и Y – независимые стандартные нормальные величины.
a) Чему равна вероятность того, что ?
b) Чему равна вероятность того, что ?
Задача В.4.28. Пусть X и Y – независимые стандартные нормальные величины, имеющие совместное нормальное распределение. Чему равен коэффициент корреляции между X и Y, если ?
Задача В.5.14. В 1980 г. на президентских выборах 34,9 млн жителей США проголосовали за кандидата от Демократической партии 43,2 млн – за кандидата от Республиканской партии (Картер против Рейгана). Как обычно, мы не при принимаем во внимание остальные партии. Из множества всех избирателей наугад выбираются 1500 человек. Чему равна вероятность того, что голосование в этой группе приведет к победе того же кандидата, что и в результате всеобщих выборов? Иными словами, какова вероятность того, что в этой группе большинство голосов наберет кандидат от Республиканской партии?
Задача В.5.26. В таблице дано распределение веса 1200 жителей большого дома
Вес (фунты) Доля жильцов
50 0,20
100 0,30
150 0,40
200 0,10

Каждый лифт в доме рассчитан на максимальную загрузку 2800 фунтов. Двадцать жителей этого дома собираются войти в лифт. Чему равна вероятность того, что лифт окажется перегруженным?
Задача В.4.51. Рассматривается генеральная совокупность индивидуумов, имеющихся от одной до трех кредитных карт. В таблице представлено совместное распределение числа кредитных карт (X) и количества покупок в течении недели, совершаемых с помощью кредитных карт (Y).
Число карт (X) Число покупок в неделю (Y)
0 1 2 3 4
1 0,08 0,13 0,09 0,06 0,03
2 0,03 0,08 0,08 0,09 0,07
3 0,01 0,03 0,06 0,08 0,08

a) Найдите распределение числа покупок для индивидуума выбранного наугад из этого генеральной совокупности
b) Найдите распределение числа покупок для индивидуума, выбранного наугад из группы владельцев трех карт.
c) Являются ли величины X и Y независимыми?
Задача В.5.38. Владелец магазина звукозаписей выяснил, что 20% посетителей магазина совершают покупки. Однажды утром в магазине оказалось 180 посетителей, причем эту группу людей можно считать случайной выборкой из множества всех посетителей магазина.
a) Чему равно среднее значение выборочной пропорции тех посетителей, что совершили покупки?
b) Чему равна дисперсия этой выборочной пропорции?
c) Чему равна стандартная ошибка этой выборочной пропорции?
d) Чему равна вероятность того, что выборочная пропорция будет меньше 0,15?
Задача В5.35. Пусть – случайная выборки из стандартной нормальной генеральной совокупности и пусть .
a) Оцените вероятность , используя ЦПТ.
b) Найдите эту вероятность точно.
Задача В.5.42. Случайным образом из некоторой генеральной совокупности выбрано 224 человека. Из них 140 сказали, что они с удовольствием поехали бы в Россию в качестве туристов. Сколько нужно опросить людей, чтобы с уровнем доверия 0,99 оценить с точностью 0,02 долю тех людей в генеральной совокупности, которые хотели бы посетить Россию?

Стоимость данной учебной работы: 585 руб.

Выдержка из похожей работы

Личное дело № 09ФФ941717
Преподаватель Коропец А,А
Орел 2010
Задание 1

Данные о продолжительности телефонных разговоров, отобранные по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, приведены в таблице:

Время,
мин

1,5—2,5

2,5—3,5

3,5—4,5

4,5—5,5

5,5—6,5

6,5—7,5

7,5—8,5

8,5—9,5

9,5- 10,5

Итого

Число разговоров

100

Найти:
а) границы в которых с вероятностью 0,9973 заключена средняя продолжительность телефонных разговоров всех абонентов (число которых очень велико);
б) число телефонных разговоров, при котором с вероятностью 0,97 можно было утверждать, что доля всех разговоров продолжительностью не более 6,5 минут отличается от доли таких разговоров в выборке не более, чем на 0,1 (по абсолютной величине);
в) вероятность того, что отклонение той же доли в выборке от генеральной доли (см, п, б)) не превзойдет 0,05 (по абсолютной величине),
Решение
а) Найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию используя формулы:

К- длина интервала (1) С- середина среднего интервала (6)
Результат оформим в таблице,

№

интервал

средний интервал

U1m

U1^2

U1^2m

1,5-2,5

-4

-12

2,5-3,5

-3

-12

3,5-4,5

-2

-18

4,5-5,5

-1

-14

5,5-6,5

6,5-7,5

7,5-8,5

8,5-9,5

9,5-10,5

Итого

—

100

—

330

— выборачная средняя
по таблице критических точек Лапласа t=3
предельная ошибка выборки
границы: ; 6,16-0,542Х06,16+0,542; 5,618 Х06,702
Таким образом с надежностью 0,9973 средняя продолжительность телефонных разговоров всех абонентов заключена в границах от 5,618 до 6,702
б) В качестве неизвестного значения генеральной доли р возьмем ее состоятельную оценку w, которая определяется по формуле:
= 3+4+9+14+37/100= 0,67
m — число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
n — общее число единиц в совокупности,
Учитывая, что у=Ф(t) = 0,97 и t=2,17, найдем объем бесповторной выборки по формуле:
— известна из пункта а),
При Р = 0,9545 коэффициент доверия t = 2 (по таблице значений функции Лапласа Ф(t)),
разговоров
Вывод, Для того, чтобы обеспечить долю всех разговоров продолжительностью не более 6,5 минут необходимо отобрать в выборочную совокупность 104 разговоров,
в) Средняя квадратичная ошибка (из предыдущих расчетов) рассчитаем по формуле:
Теперь искомую доверительную вероятность находим по формуле:
= Ф=Ф(1,06)=0,7109
Т,е, искомую вероятность того, что отклонение той же доли в выборке от генеральной доли не превзойдет 0,05 (по абсолютной величине), равна 0,7109
Задание 2

По данным задачи 1, используя -критерий Пирсона, уровне значимости б = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х — продолжительность телефонных разговоров — распределена по нормальному закону, дисперсия гистограмма корреляция регрессия
Построить на одном чертеже гистограмму и соответствующую нормальную кривую,
Решение
Для решения используем следующие формулы:
; ;
Результаты расчетов представим в таблице

Xi-xi+1

Wi=hi/n

Zi+1

h,i=n*Pi

1,5-2,5

0,03

—

-2,01

-1

-0,9556

0,022

2,22

0,0067

2,5-3,5

0,04

-2,01

-1,46

-0,9556

-0,8557

0″

Аспирант+

Аспирант+

Учебная работа № /8332. «Контрольная Теория вероятностей, 15 задач