Учебная работа № /8331. «Контрольная Теория вероятностей, 9 задач 28
Учебная работа № /8331. «Контрольная Теория вероятностей, 9 задач 28
Содержание:
1. Появление дефекта одного из трех типов соотносится как 2:3:6. Вероятности обнаружения дефектов с помощью диагностического теста равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Тест показал наличие дефекта. Установить, какой из дефектов имеет наибольшую апостериорную вероятность (известно, что дефект есть, какой из дефектов наиболее вероятен).
2. Два катера должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода каждого катера независимо и равномерно в течение данных 3 часов. Определить вероятность того, что ни одному из катеров не придется ждать освобождения причала, если время стоянки одного из катеров 40 минут, второго 60 минут.
3. В подъезде дома установлен кодовый замок. Код состоит из трех последовательных цифр из 10. Некто, не зная кода, начал наудачу пробовать различные комбинации. На одну попытку от тратит 10 секунд. Какова вероятность открытия им двери подъезда за 17 минут.
4. Из урны, содержащей шары с номерами 1,2,…,29, наудачу последовательно выбирается 20 шаров. Какова вероятность того, что на 19 месте окажется шар с номером 19.
5. В ящике 53 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлекается сразу 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 3 стандартных детали.
6. В урне находится 4 черных, 8 белых и 3 красных шаров. Наудачу извлекается подряд 2 шара. Какова вероятность того, что они оба одного цвета.
7. Дискретная случайная величина задана своим рядом распределения
-2 3 6
0,3 0,3 0,4
Найти: а) функцию распределения этой величины и построить ее график; б) .
8. Дана функция . Найти: а) параметры так, что бы эта функция была функцией распределения некоторой непрерывной величины , ; б) плотность распределения этой величины.
9. Дана функция . Найти: а) параметр , так, чтобы эта функция была плотностью распределения непрерывной случайной величины ; б) .
Выдержка из похожей работы
, ,
Событие А можно представить в виде:
Указанные слагаемые представляют собой несовместные события, поэтому по теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:
,
Так как события независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, имеем:
Таким образом, вероятность того, что студент сдаст только один экзамен, равна
б) Введем обозначения:
событие В — «студент не сдаст ни одного экзамена»;
Таким образом, вероятность того, что студент не сдаст ни одного экзамена, равна
в) Введем обозначения:
событие С — «студент сдаст хотя бы два экзамена»,
Так как в результате данного испытания могут появиться три события: , то появление хотя бы двух из них означает наступление либо двух, либо трех событий,
Следовательно, применяя теорему появления независимых событий, имеем:
Таким образом, вероятность того, что студент сдаст хотя бы два экзамена, равна
Ответ: ; ;
Задание 2
На фабрике производятся швейные изделия, Вероятность появления брака равна 0,10, Была введена упрощенная сиситема контроля изделий, состоящая из двух независимых проверок, В результате k-ой проверки (k=1, 2) изделие удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью, , а бракованное изделие принимается с вероятностью , Изделие принимается, если оно прошло обе проверки, Найти вероятности событий:
а) бракованное изделие будет принято;
б) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано;
в) случайно взятое на проверку швейное изделие будет отбраковано;
г) отбракованное изделие удовлетворяет стандарту;
д) из 5 изделий, взятых на проверку, 1 ��зделие будет удовлетворять стандарту,
; ; ;
Решение:
Пусть А — событие, состоящее в том, что изделие удовлетворяет стандарту, — изделие не удовлетворяет стандарту, — изделие принимается при k-ой проверке; — изделие бракуется при k-ой проверке,
а) определим вероятность того, что бракованное изделие будет принято, Так как заранее известно, что изделие с браком, то вероятность события не учитывается, Чтобы это изделие было принято, должно произойти событие , т,е, бракованное изделие принимается полсе обеих проверок, Вероятность этого события равна:
б) найдем вероятность того, что изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано, Здесь известно по условию, что оно уже удовлетворяет стандарту, Значит соответствующее событие будет равно сумме двух событий: 1 — изделие отбраковано при первой проверке ; 2 — изделие было принято при первой проверке, но отбраковано при второй: , Знаяит вероятность будет равна:
в) пусть С — событие, состоящее в том, что случайно взятое изделие на проверку будет отбраковано, Изначально нам не известно, какое изделие идет на проверку,
Возможны две гипотезы:
Н1 — на проверку идет изхделие, удовлетворяющее стандарту;
Н2 — на проверку идет бракованное изделие,
По условию,
Р(Н1)=1-р=1-0,10=0,90
Р(Н2)=р=0,10
Вероятность искомого события найдем по формуле полной вероятности, Если событие может произойти лишь при условии наступления какого-либо из несовместных событий-гипотез, образующих полную группу (т,е, какое-то одно из них обязательно наступает), то его вероятность равна сумме произведений вероятностей этих гипотез на условные вероятности искомого события при условии, что соответствующие гипотезы произошли, Таким образом, при двух гипотезах
Р(С)=Р(Н1)Р(С/Н1)+Р(Н2)Р(С/Н2)
Р(С/Н1)=р2=0,0592
Р(С/Н2)=1-р1=1-0,000006=0,999994
Следовательно,
Р(С)=0,90*0,0592+0,1*0,999994=0,05328+0,0999994=0,1532794
г) Отбракованное изделие удовлетворяет стандарту, Следовательно произошла гипотеза Н1, при условии что наступило событие С, Вероятность этого события найдем по формуле Байеса, которая служит для переоценки вероятностей гипотез после того, как стало известно, что основное событие произошло, Таким образом,
д) Найдем вероятность р3 того, что одно случайно взятое на проверку изделие удовлетворяет стандарту, Это событие противоположно событию С, Значит, р3=1-Р(С)=1-0,1532794=0,8467206
Для нахождения вероятности тог, что из 5 изделий, взятых на проверку, только одно будет удовлетворять стандарту, воспользуемся формулой Бернулли, «
