Учебная работа № /7655. «Контрольная Высшая математика, 7 задач
Учебная работа № /7655. «Контрольная Высшая математика, 7 задач
Содержание:
1 – 10. Даны векторы (а1; а2; а3), (b1; b2; b3), (c1; c2; c3) и (d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
10. (6; 3; 1),
(–1; 3; 4),
(2; –1; 9),
(–2; –10; 0).
11 – 20. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:
1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
20. А1 (2; 1; –4), А2(1; –2; 3), А3(1; –2; –3), А4(5; –2; 1).
30. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х + 2у –7= 0,
5х + 2у – 36 = 0 и уравнение его диагонали 3х + 7у – 10 = 0. Составить уравнения остальных сторон этого прямоугольника.
31 – 40. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, построить график кривой.
40. 4×2 – 3у2 – 8x – 6у – 11 = 0.
51 – 60. Дана система линейных уравнений
Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.
60.
61 – 70. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
70.
71 – 80. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w3 + z = 0.
80.
Выдержка из похожей работы
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
-1
-2
-1
~
0
-3
-3
-6
~
0
-3
-3
-6
2
1
1
4
0
-3
-1
-6
0
0
2
0
2z = 0, z = 0; -3y -3•0 = -6, y = 2; x + 2•2 + 1•0 = 5, x = 1,
Решение системы {1;2;0}
По формулам Крамера:
— определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,
x, y, z — получаются из путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов,
1
2
1
Д=
1
-1
-2
= -1+1-8+2-2+2= -6
2
1
1
5
2
1
Дx=
-1
-1
-2
= -5-1-16+4+2+10 = -6
4
1
1
X=Дx/Д= -6/(-6) = 1
1
5
1
Дy=
1
-1
-2
= -1+4-20+2+8-5 = -12
2
4
1
Y=Дy/Д= -12/(-6) =2
Z=Дz/Д= 0/(-6) = 0
1
2
5
Дя=
1
-1
-1
= -4+5-4+10+1-8 = 0
2
1
4
Решение системы {1;2;0}
Задача 30
На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)
Найти:
— длину стороны АВ
— уравнение стороны АВ
— уравнение медианы АD
— уравнение высоты СЕ
— уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ
— внутренний угол при вершине А
— площадь треугольника АВС
— координаты точки Е
— сделать чертеж
Решение:
1, Длина стороны АВ:
АВ= 5,385
2, Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
; ;
у = — уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k—AB= 2/5
3, Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам,
Координаты середины ВС:
х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3
D (-3,5;3)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:
; -5,5у = -16,5
у = 3- уравнение прямой АD
3, Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:
у — у3 = kСЕ (х — х3); у — 5 = -2,5(х+4)
у = -2,5х -5 — уравнение высоты СЕ,
5, Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:
у — у3 = kАВ (х — х3); у — 5 = х +,
у = х +, — уравнение прямой, параллельной АВ,
6, Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:
, где
— длины сторон АВ и АС соответственно,
,
А = arc cos 0,7643 = 40о9′
7, Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:
S = Ѕ(x2 — x1)(y3 — y1) — (x3 — x1)(y-2 — y1);
S= Ѕ (-5)·2 — (-2) ·(-6) = 22/2 = 11 кв,ед,
8, Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т,к точка Е принадлежит им обоим:
у = -2,5х -5
у =
0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5
у = 6,25 — 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)
Задача 40
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, Построить кривую,
у2 + 2x — 2y -1 = 0
Решение:
Выделяем полные квадраты:
у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0
(у — 1)2 = -2(х — 1)
(х — 1) =-1/2(у — 1)2 — это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии — прямая
у = 1, ветви параболы направлены влево,
Задача 50
Вычислить пределы,
1)
2)
3)
4)
так как -первый замечательный предел
5) , (a0)
Обозначим х-а = t, Если х>а, то t>0, х = t+a, ln x-ln a =
где — второй замечательный предел,
Задача 60
Найти производные функций:
1) y =
y =
2) у =
3) y =
y =
4) y = ctg(excosx);
y=
Задача 70
Провести полное исследование функции и построить ее график,
у = ;
Решение:
1, Область определения функции: х (-; +),
2, Поведение функции на границах области определения:
3, у= х3 — х2 = х2(x-1); у= 0, если х1 = 0, х2 = 1;
При х (-; 0), у 0, функция убывает,
При х (0;1), у 0, функция убывает»
