Учебная работа № /7432. «Контрольная Составить уравнения стороны ВС треугольника АВС, 5 задач
Учебная работа № /7432. «Контрольная Составить уравнения стороны ВС треугольника АВС, 5 задач
Содержание:
Задача 1. Составить уравнения стороны ВС треугольника АВС; высоты, опущенной из вершины А, и медианы, проведенной к стороне АС по следующим данным:
Вершина А(1;1)
Вершина В(-5;7)
Точка пересечения медиан М(0;3).
Задача 2. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно прямой L и общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой L.
M(7;0;-1)
Уравнение L:
Задача 3. Дана система векторов . Найти ее ранг. Выяснить, можно ли линейно выразить векторы через векторы этой системы. Найти вид линейной зависимости в таком случае.
Задача 4. Найти общее решение системы в а) методом Гаусса, указать фундаментальные решения и определить ранг основной матрицы. Найти решение системы б) методом Крамера.
А) Б)
Задача 5.Решить матричное уравнение АХ=В:
Задача 6. Решить задачу линейного программирования графически и симплекс-методом:
Выдержка из похожей работы
На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду, На втором этапе решения (обратный ход) идет последовательное определение переменных из получившейся ступенчатой системы,
Прямой ход,
2 -3 30 9 -8
6 5 6 13 4
8 2 36 22 -4
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 3,
[ 6 -9 90 27 -24]
2 -3 30 9 -8
0 14 -84 -14 28
8 2 36 22 -4
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 4,
[ 8 -12 120 36 -32]
2 -3 30 9 -8
0 14 -84 -14 28
0 14 -84 -14 28
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 1,
[ 0 14 -84 -14 28 ]
2 -3 30 9 -8
0 14 -84 -14 28
0 0 0 0 0
Система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, Ранг основной и расширенной матрицы равен 2, Система совместна,
Обратный ход,
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -3/14 ,
[ 0 -3 18 3 -6]
2 0 12 6 2
0 14 -84 -14 28
0 0 0 0 0
Элементы строки 1 разделим на 2,
1 0 6 3 -1
0 14 -84 -14 28
0 0 0 0 0
Элементы строки 2 разделим на 14,
1 0 6 3 -1
0 1 -6 -1 2
0 0 0 0 0
Ответ:
Система имеет бесконечное множество решений,
б) Решим систему уравнений
Прямой ход,
2 -3 30 9 0
6 5 6 13 0
8 2 36 22 0
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 3,
[ 6 -9 90 27 0]
2 -3 30 9 0
0 14 -84 -14 0
8 2 36 22 0
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 4,
[ 8 -12 120 36 0]
2 -3 30 9 0
0 14 -84 -14 0
0 14 -84 -14 0
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 1,
[ 0 14 -84 -14 0]
2 -3 30 9 0
0 14 -84 -14 0
0 0 0 0 0
Система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, Ранг основной и расширенной матрицы равен 2,
Обратный ход, Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -3/14 ,
[ 0 -3 18 3 0]
2 0 12 6 0
0 14 -84 -14 0
0 0 0 0 0
Элементы строки 1 разделим на 2,
1 0 6 3 0
0 14 -84 -14 0
0 0 0 0 0
Элементы строки 2 разделим на 14,
1 0 6 3 0
0 1 -6 -1 0
0 0 0 0 0
Ответ:
Общее решение:
x=
Базисное решение:
-6 -3
л0= 6 л1= 1
1 0
0 1
Задача 2
Используя матричное исчисление, выразить переменные , через , , , если:
Решение:
Первое линейное преобразование:
y1 x1 1 0 1
y2 = A x2 A = 1 1 6
y3 x3 1 -1 1
Второе линейное преобразование:
z1 y1 1 1 -6
z2 = B y2 B = 1 0 1
z3 y3 6 1 -1
Тогда произведение имеет вид:
1 1 -6 1 0 1 -4 7 1
C = B · A = 1 0 1 · 1 1 6 = 2 -1 2
6 1 -1 1 -1 1 6 2 11
Ответ:
z1 -4 7 1 y1
z2 = 2 -1 2 y2
z3 6 2 11 y3
Задача 3
Показать, что векторы , образуют базис в 3-мерном пространстве, и найти координаты вектора в этом базисе, Соответствующую систему линейных уравнений решить:
а) методом Гаусса — Жордана;
б) правилом Крамера;
в) матричным методом (методом обратной матрицы),
Решение:
Векторы образуют базис, если они линейно независимы,
б+в+г=0
6б-в+2г=0
6б-2в+3г=0
Тогда:
Это условие выполняется, когда определитель матрицы отличен от нуля,
1 1 1
6 -1 2 = 5
6 -2 3
б+в+г= 2
6б-в+2г= -6
6б-2в+3г= -18
1) Метод Жордана-Гаусса
1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 3/7 -4/7
6 -1 2 -6 ~ 0 -7 -4 -18 ~ 0 1 4/7 18/7 ~
6 -2 3 -18 0 -4 -3 30 0 0 5/7 138/7
1 0 0 -62/5
~ 0 1 0 -66/5
0 0 1 138/5
Координаты вектора x1=-62/5; x2=-66/5; x3=138/5, Метод Крамера
1 1 1
Д = 6 -1 2 = 5
6 -2 3
2 1 1
Д1 = -6 -1 2 = -62
-18 -2 3
1 2 1
Д2 = 6 -6 2 = -66
6 -18 3
1 1 2
Д3 = 6 -1 -6 = 138
6 -2 -18
Координаты вектора :
3, Метод обратной матрицы
1 1 1
А = 6 -1 2
6 -2 3
2
В = -6
-18
-7/5 -1/5 3/5
А-1 = -6/5 -3/5 4/5
18/5 4/5 -7/5
-7/5 -1/5 3/5 2 -62/5
х = А-1 · В = -6/5 -3/5 4/5 · — 6 = -66/5
18/5 4/5 -7/5 -18 138/5
Координаты вектора
: x1=-62/5; x2=-66/5; x3=138/5
Ответ: Координаты вектора тремя способами получились: x1=-62/5; x2=-66/5; x3=138/5
Задача 4
Даны уравнения и сторон АВ и АС треугольника АВС и точка D (7; 2; -6) пересечения медиан»
