Учебная работа № 6434. «Контрольная Математика вариант 9-2

Выдержка из похожей работы

А1(3,3,9) А2(6,9,1) А3(1,7,3) А4(8,5,8)
Решение
1) Найдем длину ребра А1А2по
формуле

2) Косинус угла между ребрами А1А2
и А1А4:
,

=(x2–x1;
y2–y1;
z2–z1)=(6-3;9-3;1-9)=(3;6;-8),

=(x4–x1;
y4–y1;
z4–z1)=
(8-3;5-3;8-9)=(5;2;-1)

3) ) Синус угла между прямой А1А4и плоскостью А1А2А3:
,
где–
направляющий вектор прямой,–
нормальный вектор к плоскости,
(5;2;-1)

=(x3–x1;
y3–y1;
z3–z1)=(1-3;7-3;3-9)=(-2;4;-6),

=(-4;34;24)

4) Найдем площадь грани А1А2А3
S=
S=ед2
5) Объем пирамиды найдем по формуле
V=
V=ед3
6) Каноническое уравнение прямой А1А2

7) Найдем уравнение плоскости А1А2А3
,
где
(А,В,С)–нормальный
вектор к плоскости А1А2А3,
А1(x1,y1,z1)–
координаты точки, через которую проходит
плоскость,
Получим
-4(x-3)+34(y-3)+24(z-9)=0
2x-17y-12z+153=0
–общее уравнение плоскости А1А2А3

8) Найдем уравнение высоты, опущенной
из точки А4, на грань А1А2А3
по формуле
,
так как нормальный вектор
(А,В,С)
к плоскости А1А2А3является направляющим вектором высоты,
Получим

–
каноническое уравнение прямой,
Сделаем чертеж:

Ответ: 1)А1А2=

4) S=ед2
5) V=4ед3
6)

7) 2х-17y-12z+153=0
8)

№22Составить
уравнение линии, каждая точка которой
находится вдвое дальше от точки А(3,0),
чем от оси ординат,
Решение
Пусть М(x,y)–
произвольная точка искомой кривой,
Сделаем чертеж:

Тогда
АМ=
МК=
По условию АМ=2МК
Тогда составим уравнение:

Откуда

Приведем уравнение линии к каноническому
виду

–каноническое
уравнение гиперболы с центром в точке
(-1;0) и полуосямиa=2,b=

Ответ:

№32Доказать
совместность данной системы линейных
уравнений и решить ее двумя способами:
1) методом Гаусса; 2) средствами матричного
исчисления,
Решение
Составим расширенную матрицу
системы уравнений и преобразуем ее к
треугольному виду
=>=3
Так как rangA=rang=3
иn=3 (число неизвестных),
то система уравнений совместна и имеет
единственное решение,

Решим систему методом Гаусса, Полученная
матрица эквивалентна следующей системе
уравнений:

, откуда
x3=0
x2=
x1=

Решим систему уравнений средствами
матричного исчисления, Данная система
эквивалентна матричному уравнению
AX=B, откуда
Х=,
где А=,
Х=,
В=
А-1– матрица, обратная матрице к
А
,
где Аij– алгебраические
дополнения к элементам матрицы А,

А11=
А12=
А13=
А21=
А22=
А23=
А31=
А32=
А33=

Х=,
откуда х1=3, х2=-1, х3=0
Ответ: х1=3, х2=-1, х3=0
№42Найти
размерность и базис пространства решений
однородной системы линейных уравнений
Решение
Найдем ранг матрицы системы уравнений
при помощи элементарных преобразований:
=>rA=2
Значит, система имеет ненулевые решения,
размерность пространства которых равна
n-r=4-2=2, гдеn- число неизвестных,
Полученная матрица эквивалента следующей
системе
,
откуда

—
общее решение системы,

Представим его в матричном виде
X=,
где х3и х4,
Вектор-столбцы
иобразуют
базис пространства решений системы,
Обозначим х3=С1, х4=С2,
где С1иС2–произвольные
постоянные, Тогда решение системы в
векторном виде примет вид

Ответ: n-r=2
– размерность пространства решений,

,–
базис пространства решений,

№52Найти
собственные значения и собственные
векторы линейного преобразования,
заданного в некотором базисе матрицей,
Решение
Составим характеристическое уравнение
матрицы
:

λ1=4, λ2=λ3=-1 – собственные
значения матрицы А
Найдем собственные векторы, соответствующие
данным собственным значениям, из системы

При λ1=4 получим
=>x1=0,x2=0
при х3=1, получим собственный вектор=(0;0;1)Т
При λ1=λ2=-1
получим

при х2=5, получим собственные
векторы==(5;5;-8)Т
Ответ: λ1=4, λ2=λ3=-1 –
собственные значения,
=(0;0;1)Т==(5;5;-8)Т(
с точностью до постоянного множителя)
– собственные векторы,

№62Привести
к каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм