Учебная работа № 5852. «Контрольная Линейное преобразование трехмерного арифметического пространства, 2 задания
Учебная работа № 5852. «Контрольная Линейное преобразование трехмерного арифметического пространства, 2 задания
Содержание:
«Задание 1. Линейное преобразование трехмерного арифметического пространства переводит вектор a_i в вектор b_i(i=1,2,3).
а) Показать что такое преобразование существует и единственно.
б) Найти матрицу преобразования в базисе a_1,a_2,a_3.
в) Найти матрицу преобразования в стандартном базисе e_1=〖(1,0,0)〗^Т, e_2=〖(0,1,0)〗^Т, e_1=〖(0,0,1)〗^Т.
г) Найти ядро и образ данного преобразования.
д) Диагонализировано ли преобразование? Если да, то указать диагональный вид преобразования и указать базис, в котором матрица преобразования диагональная.
a_1=〖(1,1,-1)〗^T, a_2=〖(0,-1,0)〗^T, a_3=〖(1,2,0)〗^T, b_1=〖(-3,-7,3)〗^T, b_2=〖(-2,-5,2)〗^T, b_3=〖(3,6,-2)〗^T
Задание 2. Линейное преобразование трехмерного арифметического пространства переводит вектор a_i в вектор b_i(i=1,2,3).
а) Показать что такое преобразование существует и единственно.
б) Найти матрицу преобразования в базисе a_1,a_2,a_3.
в) Найти матрицу преобразования в стандартном базисе e_1=〖(1,0,0)〗^Т, e_2=〖(0,1,0)〗^Т, e_1=〖(0,0,1)〗^Т.
г) Найти ядро и образ данного преобразования.
д) Диагонализировано ли преобразование? Если да, то указать диагональный вид преобразования и указать базис, в котором матрица преобразования диагональная.
a_1=〖(2,0,-1)〗^T, a_2=〖(1,1,1)〗^T, a_3=〖(1,1,-1)〗^T, b_1=〖(-6,-16,7)〗^T, b_2=〖(5,9,-3)〗^T, b_3=〖(-3,-7,3)〗^T
»
Выдержка из похожей работы
Доказать, что любой линейный оператор
в одномерном пространстве сводится к
умножению всех векторов на одно и то же
число, т,е, Ах
= х,
хV,
3,
В бесконечномерном пространстве всех
полиномов от t
с вещественными коэффициентами заданы
операторы А
и В:
АР(t)
= Р(t),
ВР(t)
= tР(t),
а) показать, что
оба оператора – линейны;
б)
имеет ли место равенство АВ
= ВА?
в) найти АВ
– ВА;
г)
показать, что ,
б)
нет; в) АВ
– ВА
= Е,
4,
Можно ли рассматривать в пространстве
полиномов степени не выше n
оператор В
такой, что ВР(t)
= tР(t)?
нет,
потому, что умножение на t
повышает
степень многочлена и, следовательно,
не
действует
в данном пространстве,
5,
В линейном пространстве всех многочленов
от t
операторы А
и В
заданы так: A(a0
+ a1t
+ … + antn)
= a1
+ a2t
+ … + antn–1
иB(a0+a1t+ … +antn)
=a0t+a1t2+ … +antn+1
Показать,
что А
и В
линейные операторы и, что АВ
= Е,
ВА
Е,
Имеет ли оператор А обратный?
нет,
6,
Пусть х(х1,
х2,
… , хn)произвольный
вектор n-мерного
арифметического пространства, Будет
ли А
линейным оператором, если:
а)
n =
2; Ах
= (х2,
х1
– х2);
б) n
= 2; Ах
= (х2,
х1х2);
в)
n =
3; Ах
= (х2,
х1
– х3,
х3
+3); г) n =
3; Ах
= (2х3
+ х1,
2х3х1,
х1
– х2);
д)
Ах =
(0, 0, 0, … , 0,
0); е) n =
3; Ах
= (0, х1+
3х2,
х1,
);
ж)
Ах =
(0, 0, 0, … , 0,
1); з) n =
3; Ах
= (sinх1,
cosх2,
х3);
и)
Ах
= (хn,
хn–1,
хn–2,
… , х2,
х1),
а)
да; б), в), г) нет; д) да; е), ж),
з) нет; и) да,
7,
Пусть –
произвольный вектор;
– фиксированные ненулевые векторы
геометрического векторного пространства
(двумерного или трехмерного), Проверить,
что оператор А линеен и выяснить его
геометрический смысл, если:
а)
;
б) ;
в)
;
г) ;
д)
;
е) ,
а)
ортогональное проектирование на прямую
;
б) проектирование на подпространство
параллельно
подпространству ;
в) ортогональное проектирование на
подпространство ;
г) проектирование на подпространство
параллельно вектору ā;
д)
ортогональное отражение в подпространстве
;
е) ортогональное отражение в прямой
