Учебная работа № 5328. «Контрольная Математика, задачи 81,91, 101,121, 141,151
Учебная работа № 5328. «Контрольная Математика, задачи 81,91, 101,121, 141,151
Содержание:
«81) Решить систему тремя способами: а) по правилу Крамера, б) методом Гаусса, в) с помощью обратной матрицы.
{?(2x+3y-z=3@ x-y+3z=-2@3x+5y+z=2)?
91) Решить систему тремя способами: а) по правилу Крамера, б) методом Гаусса, в) с помощью обратной матрицы.
{?(x_1-2x_2+x_3=1@ 2x_1+x_2+3x_3=8@x_1-2x_2-2x_3=-2)?
101) Исследовать на совместность систему уравнений:
?(x_1+2x_2-x_3=2@2x_1-x_2+x_3=1@? 4x?_1+3x_2-2x_3=5@?3x?_1+x_2=5)
121) Решить матричные уравнения A • X = B, X • A = B и A•X•B = C
A = |?( 2&3@ 1&-1)| , В = |?(-3&4@ 4&-1)| С = |?(-1&2@ 4&-1)|
141) На предприятии имеется сырьё видов I, II и III. Из него можно изготовить изделия типов А и В. Запасы сырья на предприятии составляют S1, S2 и S3 единиц соответственно, изделие типа А дает прибыль c1 у.е., изделие типа В — c2 у.е. Расход сырья на изготовление одного изделия задан в условных единицах таблицей. Составить план выпуска изделий, при котором предприятие имеет наибольшую прибыль. Решить задачу геометрическим и симплексным способами. 151) На трех базах A1, A2 , A3 имеется однородный груз в количестве а1,а2,а3 единиц соответственно. Этот груз требуется перевезти в четыре пункта потребления B1, B2, B3, B4 в количестве b1,b2,b3,b4 условных единиц соответственно. Стоимости перевозки единицы груза от поставщиков к потребителям указаны в матрице стоимости С. Необходимо спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.
а1 = 50, а2 = 80, а3 = 70
b1 = 50, b2 = 50, b3 = 62, b4 = 38
2421
C = 3016
8352
»
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
