Учебная работа № 5073. «Контрольная Математика, вариант 6
Учебная работа № 5073. «Контрольная Математика, вариант 6
Содержание:
Задание 1. Вычислить пределы:
1. Вычислить пределы:
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
е)
Задание 2. Найти производные dy/dx данных функций:
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
е) .
Задание 3. Исследовать наибольшее и наименьшее значения функции
y=x^3-3x^2-9x+1
на отрезке [-1;2].
Задание 4. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:
y=(1+x) e^(x+2).
Задание 5. Найти все частные производные 1-го порядка:
а)
б) ,
в) .
Задание 6. Вычислить неопределенные интегралы:
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
е) .
Задание 7. Вычислить определенные интегралы:
а) ,
б) ,
в) .
Выдержка из похожей работы
Вычислить вычеты:
а)
;
б)
;
в)
,
Решение:
а) Функция
имеет простой полюс в точке,
тогда по формуле:находим:
,
б) Разложим функцию в ряд Лорана в
окрестности точки z0= ∞, Для этого воспользуемся разложением
функции,
получаем,
По формуле
получаем, что,
в) Данная функция
имеет в точкеполюс кратности 3, тогда по формуле:находим
,
Задание 9,11,6,
Вычислить интегралы:
а)
;
б)
;
в)
,
Решение:
а) Преобразуем подынтегральное выражение:
,
таким образом, имеем три простых полюса:,
Все эти полюсы расположены внутри круга
,
поэтому, по основной теореме о вычетах
интеграл равен сумме вычетов по всем
полюсам подынтегральной функции,
,
б) Преобразуем подынтегральное выражение,
Пусть
,
тогда,,
таким образом, еслиизменяется от 0 до,
то переменнаяпробегает окружностьв положительном направлении, Следовательно,,
Преобразуем подынтегральное выражение:
,
таким образом, имеем два простых полюса:и,
Полюсрасположен внутри круга,
арасположен вне круга,
поэтому, по основной теореме о вычетах
получаем:
,
в) Сходимость данного интеграла следует
из признака сравнения, поскольку
,
а интегралсходится, Условия леммы Жордана для
функции,
очевидно, выполнены,
По формуле:
,
гденаходим:
