Учебная работа № 4962. «Контрольная Высшая математика, вариант 23
Учебная работа № 4962. «Контрольная Высшая математика, вариант 23
Содержание:
Задание 10.
Для функций и выяснить вопрос об их принадлежности к классам , , L, S, M.
В случае, если некоторая функция представляет из себя функционально полный класс, выразить из неё с помощью суперпозиций константы 0, 1, отрицание и конъюнкцию .
В случае, если некоторая функция представляет из себя функционально полный в слабом смысле класс, выразить из неё с помощью суперпозиций и фиксирования переменных отрицание и конъюнкцию .
Полученные результаты проверить с помощью построения таблиц.
№
23 1000 1100 0011 1010
Задание 11.
Для функций , , найти минимальные ДНФ и минимальные КНФ с помощью карт Карно, указать сложности минимальных ДНФ.
№
23 1001 0110 1101 1110 1101 1111 0111 1110 1110 0011 1111 0011 1001 1111
Задание 12.
Для данной функции , заданной векторно, проделать следующее:
1. Записать её СДНФ и СКНФ.
2. Методом Квайна найти сокращённую ДНФ.
3. Для сокращенной ДНФ построить матрицу Квайна, указать ядровые импликанты.
4. С помощью матрицы Квайна найти минимальную ДНФ, указать её сложность.
5. Найти минимальную ДНФ данной функции с помощью карт Карно, сравнить полученный результат с ДНФ, найденной в п.4.
6. По полученной минимальной ДНФ или КНФ построить комбинационные схемы с парафазными и однофазными входами в булевом базисе. Определить цену и задержку каждой схемы.
7. Построить схемы с парафазными входами в универсальных базисах И-НЕ, ИЛИ-НЕ . Определить цену и задержку каждой из схем.
№
23 1001 1011 1111 1010
Задание 13
По заданной матрице весов графа G найти величину минимального пути и сам путь от вершины до вершины или по алгоритму Дейкстры, а затем величину максимального пути и сам путь между теми же вершинами.
№
23
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
