Учебная работа № 4586. «Контрольная Математический анализ, вариант 6
Учебная работа № 4586. «Контрольная Математический анализ, вариант 6
Содержание:
«Задание 1. Найдите производные функции.
6. a) y=? (2x^3+?x)?^7; б) y= cos (2x+5).
Задание 2. Найдите производные функции.
16. а) y= arcsin7x + ?(1+x^2 ); б) y =5^sinx.
Задание 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b].
26. y = 4x/(4+x^2 ), [-4;2].
Найдем критические точки функции, для этого найдем ее производную:
(4x/(4+x^2 ))^’= (4(4+x^2 )-2x*4x)/?(4+x^2)?^2 = (16+4x^2-8x^2)/?(4+x^2)?^2 = (16-4x^2)/?(4+x^2)?^2
y^'(x)= 0 ? 16- 4x^2- 0
x= ±2
x= 2?[-4; 2]
x= -2?[-4; 2]
Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
y(-4)= (4*(-4))/(4+16)= (-16)/20= — 0,8
y(-2)= (4*(-2))/(4+4)= (-8)/8= -1
y(2)= (4*2)/(4+4)= 8/8= 1
Задание 4. Исследуйте функцию y= f(x) с помощью производной и постройте ее график.
36. y= 16x^3- 36x^2+ 24x- 9.
1. Область определения: вся числовая прямая y(x)?R.
2. Область значения функции: множество всех значений R.
3. y(-x) ? -y(x) ? функция общего вида, т.е. не является ни четной, ни нечетной.
4. y(x) – не является периодической функцией, т.к. периодическими бывают только простые многочлены, не зависящие от x.
5. Поскольку область определения не имеет граничных точек, то вертикальных асимптот график не имеет.
6. Поскольку многочлен имеет степень 3, то его график не имеет наклонных и горизонтальных асимптот.
7. Найдем точки пересечения с осями:
Oy: x=0 ? y(0) = -9
Ox: y=0 ? x = 1,5
8. Найдем интервалы возрастания, убывания функции и экстремумы функции: для этого найдем первую производную функцию и приравняем ее к нулю:
y^'(x) = 48x^2 – 72x + 24
48x^2 – 72x + 24 = 0
D= b^2 — 4ac = 5 184 – 4 608 = 576
x_1,2= (-b±?D)/2a = (72±24)/96
x_1= 1
x_2= 0,5
На интервале (-?;0,5) ?(1; +?) – функция возрастает,
На интервале (0,5; 1) – функция убывает.
x= 0,5 – точка максимума функции, x= 1 – точка минимума функции.
Найдем значения функции в точках экстремума:
y(0,5) = 2 – 9 + 12 – 9 = -4
y(1) = 16 – 36 + 24 – 9 = -5
9. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба: для этого найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:
y^»= 96x — 72
96x – 72 = 0 ? x= 0,75 – точка перегиба
Найдем значения функции в точке перегиба:
y(0,75)= 16 ?(0,75)?^3 – 36* ?0,75?^2 + 24*0,75 – 9 = -4,5
10. Используя проведенные исследования функции построим ее график:
Задание 5. Дана функция z= f(x,y) и точка M_0(x_0, y_0). Найдите градиент функции в точке M_0 и производную функции z в точке M_0 по направлению вектора a ?.
46. z = y^2 – 3xy – x +2, M_0(1; -2), a ?= {-3; -4}.
Задание 6. Исследуйте функцию на экстремум.
56. z = yx — 2x^2 + 6y — y^2 + 3
Найдем частные производные первого порядка:
?z/?x = (? (xy-2x^2+ 6y — y^2+3))/?x = y – 4x
?z/?y = (? (xy-2x^2+ 6y- y^2+3))/?y = x + 6 – 2y
Приравняем полученные выражения к нулю и решим систему:
{?( y-4x=0@x+6-2y=0)? ? {?(y=4x@x+6-2*4x=0)? ?
{?(y=4x@6-7x=0)? ? {?(x= 6/7@y= 24/7)?
Мы получили точку M(6/7; 24/7) в которой будем продолжать исследовать функцию z на экстремум.
Найдем все вторые частные производные от функции z:
(?^2 z)/(?x^2 ) = ?/?x (?z/?x) = ?/?x (y – 4x) = — 4 A
(?^2 z)/?x?y = ?/?y (?z/?x) = ?/?y (y – 4x) = 1 B
(?^2 z)/(?y^2 ) = ?/?y (?z/?y) = ?/?y (x + 6 – 2y) = — 2 C
Найдем знак дискриминанта:
? =AC- B^2= -4*(-2)-1=8-1= 7 >0
Так как ? >0 и A <0,то в точке М функция достигает максимум.
z_max= 6/7*24/7- (2*36)/7^2 + (6*24)/7- 576/7^2 +3= 93/7 или 13 2/7.
"
Выдержка из похожей работы
Список литературы
Бугров Я,С,,
Никольский С,М, Высшая математика:
Учеб,для вузов:в 3т,-5-е изд,,стер,-М,:Дрофа
,- (Высшее образование, Современный
учебник),т,2, Дифференциальное и
интегральное исчисление,-2003,-509 с,
Пискунов Н,С,
Дифференциальное и интегральное
исчисление: Учеб
