Учебная работа № 4426. «Контрольная Теория вероятностей и математическая статистика 1
Учебная работа № 4426. «Контрольная Теория вероятностей и математическая статистика 1
Содержание:
«КР №1 «Теория вероятностей и математическая статистика»
Направление ЭУС, ЭУТ, БУК.
1. Вероятности четырех независимых в совокупности событий , , , соответственно равны ; ; и . События и заданы с помощью словесного описания. Используя операции алгебры событий, выразите события и через , , , . Найдите вероятности событий и .
Событие
Событие
Произойдет хотя бы одно из четырех событий. Произойдет только одно из четырех событий.
11. Вероятность попадания стрелком в мишень равна Найти вероятность того, что спортсмен поразит мишень ровно 3 раза в 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.
21. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шаров, случайным образом вынимают 2 шара. Найти вероятности следующих событий:
a. оба шара белые;
b. оба шара черные;
c. шары разных цветов.
31. В последовательности испытаний по схеме Бернулли известна вероятность успеха . Найти следующие вероятности , , , где – число успехов в последовательности из 500 испытаний.
41. Дискретная случайная величина , принимающая значения ( ), задана таблицей распределения.
1 2 3 4 5
0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
Постройте функцию распределения случайной величины , найдите математическое ожидание , дисперсию , вероятность события .
51. Функция распределения случайной величины задана графически. Постройте график плотности распределения данной случайной величины и найдите указанные вероятности.
; , .
61. Функция плотности случайной величины задана графически. Найти математическое ожидание этой случайной величины и указанные вероятности.
71-80. Случайная величина , распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти вероятности событий: ; ; .
81. В таблицах представлены данные о технико-экономическом показателе – объеме перевозок гипса Восточно-Сибирской дороги (в тоннах), собранные на одной из дорог ОАО «РЖД» за 2010. В результате первичной обработки данных построен вариационный ряд, проведена группировка, найдены , (наименьший и наибольший элементы выборки из генеральной совокупности ), а также выборочные начальные моменты
, , .
Результаты группировки сведены в таблицу, в которой – число интервалов разбиения отрезка , – число точек, попавших в i-й интервал .
a. Найти размах исходной выборки и числа , .
b. Найти выборочные моменты для выборки, составленной из первых 10 элементов исходной выборки, то есть числа , .
c. По группированной выборке построить гистограмму относительных частот, найти выборочное среднее и выборочную дисперсию .
d. Сравнить числа , , и объяснить их различие.
e. Сравнить гистограмму относительных частот с функцией плотности нормально распределённой случайной величины с параметрами , . Сделать вывод о нормальности генеральной совокупности , из которой сделана исходная выборка.
Исходные данные
64
64
68
128
64
54
64
181
192
68 68
68
178
60
60
119
60
60
60
66 66
66
66
60
198
133
66
54
55
56 68
67
68
66
136
136
68
271
67
68 68
68
67
136
135
135
124
145
22
20
23
20
144
144
195
136
180
169
135
180 180
120
160
180
100
140
121
136
60
159 70
70
70
70
69
69
70
70
70
69 138
69
68
196
68
171
68
67
134
69 68
56
67
137
66
197
70
139
138
124
Результаты первичной обработки
Номера интервалов Границы интервалов разбиения Частоты
1
61,83 16
2 61,83 103,67 44
3 103,67 145,5 24
4 145,5 187,33 10
5 187,33 229,17 5
6 229,17
1
КР №6 Линейные математические модели
Специализации УПП, УПЛ, УПГ.
1. Записать задачу в математической форме, указав экономический смысл вводимых переменных
Строительная организация планирует сооружение домов типа Д1, Д2, Д3 с однокомнатными, двухкомнатными и трёхкомнатными квартирами. Один дом Д1 состоит из 10 одно-, 50 двух- и 35 трех- комнатных квартир. Для домов Д2 и Д3 эти данные равны соответственно 20, 60, 10 и 15, 30, 5. Годовой план ввода жилой площади составляет не менее 700 однокомнатных, 2000 двухкомнатных и 600 трёхкомнатных квартир. Требуется составить программу строительства так, чтобы выполнить годовой план с наименьшими затратами, естественно известно, что затраты на возведение одного дома Д1, Д2 и Д3 составляют соответственно 700, 400 и 300 тыс. руб.
11. Для задачи линейного программирования выполнить следующие действия.
a. Записать задачу в матричной форме.
b. Записать каноническую задачу.
c. Решить задачу геометрически.
d. Найти начальный базисный план с помощью искусственных переменных.
e. Решить задачу симплекс-методом.
f. Написать двойственную задачу к данной задаче в матричной и развёрнутой форме.
g. Найти решение двойственной задачи и доказать его оптимальность с помощью теоремы двойственности.
,
21. Имеется складских помещений (пунктов отправления) , ,…, , в которых сосредоточены запасы груза в количествах , ,…, единиц соответственно, и пунктов назначения , ,…, , подавших заявки соответственно на , ,…, единиц указанного груза. Известна тарифная матрица , в которой – стоимость перевозки одной единицы груза из склада в пункт назначения ( ; ). Найти план перевозок учитывающий запасы груза на складах и объемы заявок пунктов назначения, имеющий наименьшую общую стоимость. Исходные данные задачи занесены в следующую таблицу
a. Построить математическую модель организации перевозок: записать оптимизационную задачу, дать экономическую интерпретацию вводимых переменных.
b. Записать двойственную задачу, к построенной задаче линейного программирования.
c. Составить начальный план перевозок по методам северо-западного угла и наименьшей стоимости. Укажите стоимости перевозок по этим планам.
d. Найти оптимальный план задачи по методу потенциалов и доказать его оптимальность по теореме двойственности.
пн
пп
запасы
2 1 3 2 7 6 200
3 5 7 2 8 2 200
1 1 3 4 8 1 400
3 5 1 5 9 9 200
заявки 90 30 130 450 180 60
»
Выдержка из похожей работы
элементарных исходов равно n = 6 * 6 = 36,
Событию А
благоприятствуют пары (5;6), (6;6), (6;5), число
которых равно m = 3,
Следовательно,
Р(А) = m/n = 3/36 = 0,83+
Задача 2(39)
Приведена схема
соединения элементов, образующих цепь
с одним входом и одним выходом,
Предполагается, что отказы элементов
являются независимыми в совокупности
событиями, Отказ любого из элементов
приводит к прерыванию сигнала в той
ветви цепи, где находится данный элемент,
Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5,
6 соответственно равны q1=0,1;
q2=0,2;
q3=0,3;
q4=0,4;
q5=0,5
q6=0,6
, Найти вероятность того, что сигнал
пройдет со входа на выход,
1 2
3
Решение,
Аi
– работает
i-ый
элемент;
— не работает i-ый
элемент
=
=(0,9*0,7+0,8*0,6-0,9*0,8*0,7*0,6)*(0,5+0,4-0,5*0,4)=0,5653+
Задача 3(27)
Имеются три
одинаковых по виду ящика, В первом ящике
20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10
черных шаров, в третьем — 20 черных шаров,
Из каждого ящика вынули шар, Затем из
этих трех шаров наугад взяли один шар,
Вычислить вероятность того, что шар
белый,
Решение,
А = {вынутый шар —
белый};
Вi
= {шар вынули из i-го
ящика};
p(B1)=20/60=1/3;
p(B2)=1/3;
p(B3)=1/3
,
p(A/B1)=1;
p(A/B2)=1/2;
p(B3)=0
,
По формуле полной
вероятности
p(A)=p(B1)*p(A/B1)+p(B2)*p(A/B2)+p(B3)*p(A/B3)=
=1/3 * 1 +
1/3 * 1/2 + 1/3 * 0 =0,5
Задача 4(21)
Монету подбрасывают
восемь раз, Какова вероятность того,
что она четыре раза упадет гербом вверх?
Решение,
Вероятность
выпадения монеты гербом вверх p=1/2
