Учебная работа № 4376. «Контрольная Математика, 1 вариант
Учебная работа № 4376. «Контрольная Математика, 1 вариант
Содержание:
«1. Решите дифференциальные уравнения первого порядка.
2. Решите дифференциальные уравнения второго порядка.
1. Исследовать ряды на сходимость:
2. Найти область сходимости степенного ряда
3. Вероятность сдать каждый из трёх экзаменов экзаменационной сессии на «отлично» для студента равна, соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Определите вероятность того, что студент сдаст на «отлично»:
а) все три экзамена;
б) два экзамена;
в) хотя бы один экзамен.
4. Бригада операторов компьютерного набора из трёх человек выполняет набор книги в 500 страниц. План первого оператора – 200 страниц, второго – 160 страниц и третьего – 140 страниц. Вероятность допустить ошибку при наборе для первого оператора 2%, второго 3%, третьего – 5%. При наборе была сделана ошибка. Найти вероятность сделать ошибку первым, вторым и третьим оператором.
5. Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия при отдельном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 360 выстрелах число попаданий будут не менее 280, но не более 300.
6. Задан закон распределения дискретной случайной величины х.
xi 8 4 6 5
pi 0,1 0,3 0,2 0,4
Найти: а) математическое ожидание М (х);
б) дисперсию D(х);
в) среднее квадратическое отклонение .
7. Случайная величина х задана интегральной функцией распределения F(x).
Найти : а) дифференциальную функцию распределения f (x);
б) математическое ожидание М (х);
в) дисперсию D (x).»
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
