Учебная работа № 341402. Тема: Линейное уравнение Эйлера

Учебная работа № 341402. Тема: Линейное уравнение Эйлера

Выдержка из похожей работы

…

Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

…….

Где коэффициенты
akl=(k,
l=1,2,…,n)
– постоянные вещественные числа, а
fk(x)
(k=1,2,…,n)
– функции от х, непрерывные в интервале
(a,b).

Применяя общую теорию
линейных систем уравнений, изложенную
в предыдущей главе, мы покажем, что
система
(1) всегда
может быть проинтегрирована в конечном
виде, т. е. либо
в элементар- ных функциях, либо в
квадратурах.

Так как интегрирование
неоднородной линейной системы приводится
к интегрированию соответствующей
однородной си­стемы,
то рассмотрим сначала вопрос о построении
общего решения
однородной системы:

В силу теоремы о
построении общего решения, для построения
общего решения системы
(2) достаточно построить хоть одну
фундаментальную систему
решений.

Применяя теорему о
существовании фундаментальной системы
решений, мы видим, что существует
фунда­ментальная система решений,
определенных и непрерывных в промежутке

Более того, согласно
замечанию теоремы
о существовании фундаментальной системы
решений,
существует фундаментальная система
решений, голо­морфных
в интервале

.

Мы покажем, что
фундаментальная
система решений может быть
построена из элементарных
функций, голоморфных в
интервале
.

212. Построение
фундаментальной системы решений и
об­щего решения однородной линейной
системы в случае различ­ных
корней характеристического уравнения.
По аналогии с однородным
линейным уравнением с постоянными
коэффици­ентами
будем искать частное решение системы
(2) в виде

(3)

nи

— некоторые
постоянные числа, причем числа
n
не равны нулю одновременно, ибо в
про­тивном
случае мы получили бы очевидное нулевое
решение, которое
не может входить в состав фунда- ментальной
системы и,
следовательно, не может быть использовано
для построения общего
решения.

Обратим особое
внимание на то, что число 
мы берем
одно и то же
для всех функций, составляющих решение.

Подставляя функции
(3) в систему (2), сокращая на еx
и пере-
нося все члены направо, получим для
определения чи­сел

следующую систему:

(4)

Нас интересует
ненулевое
решение этой системы. Такое решение
существует лишь при условии, что
определитель си­стемы
равен нулю, т. е. при условии

(5)

…