Учебная работа № 341430. Тема: Однородные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к ним

Учебная работа № 341430. Тема: Однородные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к ним

Выдержка из похожей работы

…

Линейные диофантовые уравнения

…….тарной
математики. В ней не приходится писать
сложные и громоздкие формулы, а необходимо
проводить аккурат­ные рассуждения,
базирующиеся на определенных понятиях
теории чисел и связанные в стройную
логическую конструкцию. В рамках этой
теории можно дать исчерпывающее решение
рассматриваемого класса задач с четко
описанным алгоритмом получения ответа.

Конкретные
задачи такого рода были решены еще в
Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому
назад. Древнегреческий мысли­тель
Диофант, который жил около 2 тысяч лет
тому назад, в своей книге «Арифметика»
решил большое число таких и более сложных
уравнений в целых числах и в сущности
описал общие методы их решения.

В
школьных учебниках эта тема затрагивается
вскользь, да и то лишь в 8-м классе, в то
время как задачи, где требуется решать
уравнения описанного типа, относительно
часто предлагаются на вступительных
экзаменах.

В
настоящей брошюре на примерах решения
конкретных экза­менационных задач
МГУ им. М.И. Ломоносова мы расскажем об
основных результатах и методах теории
линейных диофантовых уравнений.
Поскольку, за редким исключением, на
экзаменах предлагаются уравнения с
двумя неизвестными, мы ограничим­ся
этим случаем, то есть будем рассматривать
уравнения вида

ах
+ Ьу = с. Это позволит упростить теоретические
рассмотрения, не ограничивая, в сущности,
общности описываемых методов (мы
продемонстрируем это в задаче 13 на
примере конкретного уравне­ния вида
ах + Ьу + сz = d.

Следует
отметить, что каждая конкретная задача
в целых числах может решаться с помощью
раз­ных методов. Целью нашей работы
является демонстрация возможностей
теории линейных диофан­товых уравнений.

Однородные
уравнения

Прежде
всего, мы рассмотрим однородные линейные
уравнения, то есть уравнения вида

ах
+ by
= 0,
все члены которых являются одночленами
первой степени.

Если
коэффициенты а
и Ь имеют
общий делитель d,
то
обе части уравнения ах
+ by
= 0
можно сократить на d.
Поэтому,
не нарушая общности, можно считать, что
числа а
и
b
—
взаимно про­стые.

Рассмотрим,
например, уравнение 80х + 126y
= 0.

Разложим
коэффициенты а = 80 и b=126
на простые множители: а
= 24
• 5, b
=
2 • З2
• 7. Наибольший общий делитель чисел а
= 80
и b
= 126
равен 2, и после сокращения на 2 мы получим
уравнение

40x
+ 63y
= 0, (1)

в
котором коэффициенты а
=
40 = 23
• 5 и b
=
63 = З2
• 7 являются взаимно простыми целыми
чис­лами.

Разложение
на простые множите
…