Учебная работа № 341375. Тема: Некоторые замечательные пределы

[Тип работы: Курсовая практика
Предмет: Математика
Страниц: 28
Год написания: 2015
СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3
1. Предел функции в точке 4
1.1 Понятие предела функции в точке 4
1.2 Методы раскрытия неопределённостей 8
2. Замечательные пределы и их следствия 14
2.1 Первый замечательный предел 14
2.2 Второй замечательный предел 18
2.3 Бесконечно малые величины и их сравнение 24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 27Стоимость данной учебной работы: 675 руб.

 

    Укажите Ваш e-mail (обязательно)! ПРОВЕРЯЙТЕ пожалуйста правильность написания своего адреса!

    Укажите № работы и вариант


    Соглашение * (обязательно) Федеральный закон ФЗ-152 от 07.02.2017 N 13-ФЗ
    Я ознакомился с Пользовательским соглашением и даю согласие на обработку своих персональных данных.


    Учебная работа № 341375. Тема: Некоторые замечательные пределы

    Выдержка из похожей работы

    Введение в математический анализ (2)

    …….-1)n}
    или {xn}
    = -1; 1; -1; 1; …

    {xn}
    = {sinn/2}
    или {xn}
    = 1; 0; 1; 0; …
    Для
    последовательностей можно определить
    следующие операции:

    Умножение
    последовательности на число m:
    m{xn}
    = {mxn},
    т.е. mx1,
    mx2,

    Сложение
    (вычитание) последовательностей: {xn}

    {yn}
    = {xn

    yn}.
    Произведение
    последовательностей: {xn}{yn}
    = {xnyn}.
    Частное
    последовательностей:

    при {yn}

    0.

    Ограниченные и неограниченные
    последовательности.
    Определение.
    Последовательность {xn}
    называется ограниченной,
    если существует такое число М>0, что
    для любого n
    верно неравенство:

    т.е. все
    члены последовательности принадлежат
    промежутку (-М; M).
    Определение.
    Последовательность {xn}называется
    ограниченной сверху,
    если для любого n
    существует такое число М, что
    xn

    M.
    Определение.
    Последовательность {xn}называется
    ограниченной снизу,
    если для любого n
    существует такое число М, что
    xn

    M
    Пример.
    {xn}
    = n
    – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
    Определение.
    Число а
    называется пределом
    последовательности {xn},
    если для любого положительного >0
    существует такой номер N,
    что для всех n
    > N
    выполняется условие:

    Это
    записывается: lim
    xn
    = a.
    В этом
    случае говорят, что последовательность
    {xn}сходится
    к а при n.
    Свойство:
    Если отбросить какое- либо число членов
    последовательности, то получаются новые
    последовательности, при этом если
    сходится одна из них, то сходится и
    другая.
    Пример.
    Доказать, что предел последовательности
    lim

    .
    Пусть
    при n
    > N
    верно
    ,
    т.е.
    .
    Это верно при
    ,
    таким образом, если за N
    взять целую часть от
    ,
    то утверждение, приведенное выше,
    выполняется.
    Пример.
    Показать, что при n
    последовательность 3,

    имеет пределом число 2.
    Итого:
    {xn}=
    2 + 1/n;
    1/n
    = xn
    – 2
    Очевидно,
    что существует такое число n,
    что
    ,
    т.е. lim
    {xn}
    = 2.
    Теорема.
    Последовательность не
    может иметь более одного предела.
    Доказательство.
    Предположим, что последовательность
    {xn}имеет
    два предела a
    и b,
    не равные друг другу.

    xn

    a;
    xn

    b;
    a

    b.
    Тогда
    по определению существует такое число

    >0, что

    Запишем
    выражение:

    А т.к.
    -
    любое число,
    то
    ,
    т.е. a
    = b.
    Теорема доказана.
    Теорема.
    Если xn

    a,
    то
    .
    Доказательство.
    Из xn

    a
    следует, что
    .
    В то же время:
    ,
    т.е.

    , т.е.
    .
    Теорема доказана.
    Теорема.
    Если xn

    a,
    то последовательность {xn}
    ограничена.
    Следует отметить, что обратное
    утверждение неверно, т.е. из ограниченнос