Учебная работа № 341131. Тема: Курсовая Изучение геометрических свойств кривых второго порядка.

Учебная работа № 341131. Тема: Курсовая Изучение геометрических свойств кривых второго порядка.

Выдержка из похожей работы

…

Геометрические задачи приводящие к дифференциальным уравнениям

…….
(функциями) их изменения относительно
других (независимых) переменных величин,
т.е. найти уравнения, в которых неизвестные
функции входят под знак производной.
Эти уравнения называют дифференциальными.

Простейшим
примером дифференциального уравнения
является уравнение

где f(x) –
известная, а y=y(x) – искомая функции
независимого переменного х. Решения
этого уравнения называют первообразными
функциями для функции f(x). Например,
решениями дифференциального уравнения

являются
функции

где С –
произвольная постоянная, причем других
решений это уравнение не имеет.

Характерное
свойство дифференциальных уравнений
– иметь бесконечное множество решений.
В этом смысле приведенный выше пример
типичен. Поэтому, решив дифференциальное
уравнение, описывающее эволюцию
некоторого процесса, нельзя одновременно
найти зависимость между величинами,
характеризующими данный процесс. Чтобы
выделить из бесконечного множества
зависимостей ту, которая описывает
именно этот процесс, надо иметь
дополнительную информацию, например,
знать начальное состояние процесса.
Без этого дополнительного условия
задача неопределенна.

Рассмотрим
несколько конкретных задач, приводящих
к дифференциальным уравнениям.

Огибающие

Допустим,
что нам известно для некоторого
дифференциального уравнения F(x, у,

)==0 (1) семейство

F(x, у, С)==0 (2)

интегральных
линий, которое покрывает некоторую
замкнутую область G плоскости (х, у) так,
что через каждую точку такой области
проходит по крайней мере одна линия
этого семейства. Требуется найти такую
проходящую по G линию L, которая в каждой
своей точке касается некоторой линии
семейства (2) и каждого куска которой
касается бесконечное множество линий
этого семейства1.
Такая линия L называется огибающей
семейства (2). Очевидно, огибающая
семейства интегральных линий будет
также интегральной линией уравнения
(1), так как в каждой её точке она касается
некоторой интегральной кривой и,
следовательно, имеет направление поля.
Относительно функции F (х, у, С) нам
придётся предположить, что она имеет
непрерывные производные по всем своим
аргументам, и сделать ещё некоторые
другие предположения, о которых будет
сказано несколько позже и которые в
нашем тексте напечатаны курсивом.

Допустим,
что искомая линия существует. Так как
она в каждой своей точке (х, у) касается
некоторой линии

[значок С указывает то значение параметра
С, при котором уравнение эт
…